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Suites numériques

Posté par
maelys31 28-03-21 à 18:50

Bonjour,j'ai un problème sur l'exercice suivant:
(un) est la suite définie pour tout entier n1 par: un=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}.
1-Démontrer que tous les termes de la suite sont strictements positifs.
2-Montrer que: \frac{u_{n+1}}{{u_{n}}}=\frac{n}{n+2}
3- En déduire le sens de variations de (un)
Voici ce que j'ai fait:
1- Pour tout entier naturel n1, un=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{n(n+1)}-\frac{n}{n(n+1)}=\frac{1}{n(n+1)}>0
Ainsi tous les termes de la suite sont strictement positifs.
2-un+1=\frac{1}{(n+1)(n+2)}
\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{n(n+1)}{(n+1)(n+2)}=\frac{n}{n+2}
3-J'ai un petit problème sur cette question sur mon cours je sais que si un+1-un0 la suite un est croissante et si cette même différence est inférieure ou égale à 0 la suite un est décroissante. Mais nulle part dans mon cours il ne parle de la manière de déduire le sens de variation avec la fraction du 2- . Je crois que si la fraction est superieure ou égale à 0 la suite est croissante, et si la fraction est inférieure ou égale à 0 la suite est décroissante...
Merci

Posté par
malou Webmasterre : Suites numériques 28-03-21 à 18:52

Bonjour
un coup de pouce
compare ce quotient à 1
....

Posté par
maelys31re : Suites numériques 28-03-21 à 18:58

0<\frac{n}{n+2}<1
Donc la suite (un) est croissante.
C'est correct?

Posté par
maelys31re : Suites numériques 28-03-21 à 19:10

Il y a une autre chose que je ne comprends pas c'est comment savoir si il faut utiliser la différence de un+1 et unpour connaître le sens de variations ou \frac{u_{n+1}}{u_{n}}?

Posté par
heklare : Suites numériques 28-03-21 à 19:21

Bonjour

Cela dépend des suites  dans le cas du quotient on doit s'assurer que pour tout n\  u_n\not=0 mais c'est bien identique
prenons le cas suite  croissante

u_{n+1}-u_n\geqslant 0  \iff  u_{n+1}\geqslant u_n

et comme on s'est assuré que u_n \not=0  en divisant les deux membres de l'inégalité par u_n  

\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\geqslant 1

Posté par
maelys31re : Suites numériques 28-03-21 à 19:33

D'accord, donc il faut que \frac{u_{n+1}}{u_{n}}1 pour que la suite (un) soit croissante?

Posté par
heklare : Suites numériques 28-03-21 à 19:44

Exact  lorsque vous prenez le quotient, la comparaison se fait avec 1

si c'est inférieur à 1,   la  suite est décroissante  si c'est supérieur la suite est croissante

les termes étant positifs

Posté par
maelys31re : Suites numériques 28-03-21 à 19:59

D'accord, merci infiniment pour  votre aide.
Bonne soirée


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