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Niveau première
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Suites numériques

Posté par
Larafr
08-11-21 à 21:59

Bonjour à tous, j'ai cet exercice à faire mais je n'y arrive pas. Il porte sur des suites numériques. Quelqu'un pourrait-il le résoudre?

(Sn) est la suite définie par S0=0 et pour tou t nombre entier naturel n, Sn+1=Sn+1/n+1-1/n+2
1. Calculer S1, S2, S3
2. Déterminer le sens de variation de la suite (Sn) et justifier
3. Pour tout entier naturel n, calculer S0+S1+...+Sn
4. En déduire que pour tout entier naturel n : Sn=1-1/n+1
5. Déterminer un rang à partir duquel 0,9999<Sn et justifier

Merci pour votre réponse, bonne soirée.

Posté par
phyelec78
re : Suites numériques 08-11-21 à 22:04

Bonjour,

afin que l'on puisse t'aider donne nous les calculs que tu as fait ( on n'est pas dans le jugement).

Posté par
Larafr
re : Suites numériques 08-11-21 à 22:06

Bonsoir, malheuresement je n'en n'ai fait aucun. J'essaye moi-même d'aider une personne avec cet exercice. Je n'ai pas vu le chapitre mais lui oui.

Posté par
hekla
re : Suites numériques 08-11-21 à 23:21

Bonsoir

S_{n+1}=S_n+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}

Est-ce bien cela
Si oui il ne faut pas oublier les parenthèses  1/(n+1)

Quel problème  pour la première question
il suffit de remplacer  n par 0 pour S_1

Posté par
Larafr
re : Suites numériques 08-11-21 à 23:32

Oui c'est bien ça, j'ai trouvé les réponses à la 1 et à la 2
1. S1=2.5
S2=2
S3=13/12

2.Le sens de variation de la suite Sn est négatif car S1>S2>S3

Je suis tout de même bloquée à la question 3

Posté par
hekla
re : Suites numériques 08-11-21 à 23:39

Question 1 S_1=S_0+\dfrac{1}{0+1}-\dfrac{1}{0+2}=\dfrac{1}{2}
Revoir S_2   et S_3

Question 2

il faut le vérifier pour tout  n

 S_{n+1}-S_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}=\dfrac{n+2-(n+1)}{(n+1)(n+2)}

Manifestement elle est croissante

Posté par
Larafr
re : Suites numériques 08-11-21 à 23:49

D'accord merci beaucoup, la 3,4 et 5 je suis aussi perdue...

Posté par
hekla
re : Suites numériques 08-11-21 à 23:49

Il faudra penser à changer votre profil, vous n'êtes plus en seconde.

Posté par
Larafr
re : Suites numériques 08-11-21 à 23:51

Oui merci j'avais oublié, je suis en première.

Posté par
Larafr
re : Suites numériques 08-11-21 à 23:56

Donc pour la question 2:
Je comprend pas pourquoi vous avez écrit ça.

Posté par
hekla
re : Suites numériques 09-11-21 à 00:01

Pour la question 3
Écrivez  les  S_n les uns en dessous des autres et faites la somme
Vous pourrez alors constater que presque tout s'élimine sauf 1 et \dfrac{1}{n+1}

S_1=S_0+\dfrac{1}{0+1}-\dfrac{1}{0+2}

S_2=S_1+\dfrac{1}{1+1}-\dfrac{1}{1+2}

S_3=S_2+\dfrac{1}{2+1}-\dfrac{1}{2+2}

Dans S2  S_1 et \dfrac{1}{2}   s'éliminent avec la ligne d'avant

Regardez ce qui se passe sur la ligne S_3   etc

en utilisant la relation que vous venez d'obtenir

résolvez l'inéquation

Posté par
Larafr
re : Suites numériques 09-11-21 à 00:06

Merci beaucoup j'ai compris ! Et pour la 2 et la 5?

Posté par
hekla
re : Suites numériques 09-11-21 à 00:06

Pour étudier le sens de variation, on calcule la différence entre deux termes consécutifs quelconques, donc on calcule S_{n+1}-S_n

Si cette différence est positive, alors  S_{n+1}\geqslant S_n
la suite est donc croissante

 S_{n+1}-S_n=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}

Positif comme produit et quotient de réels positifs

Posté par
hekla
re : Suites numériques 09-11-21 à 00:09

Pour la 5

1-\dfrac{1}{n+1}>0,9999 \iff \dfrac{1}{n+1}<10^{-4}

Posté par
Larafr
re : Suites numériques 09-11-21 à 00:13

Merci beaucoup, je vais appliquer tout ça, bonne fin de soirée.

Posté par
hekla
re : Suites numériques 09-11-21 à 00:15

J'arrête ; je repasserai ce matin vers 10 h

Bonne nuit

De rien



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