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suites numériques

Posté par
Yaya1304
12-03-22 à 18:57

Bonsoir,
Voici les premiers termes de quatre suites numériques définies sur N.                                                                                                                              
Trouver les trois termes suivants. Puis le terme initiale de chaque liste et la relation de récurrence exprimant u_{n+1} en fonction de u_{n} ou une relation explicite de u_{n} en fonction de n.

a) 1/2;1/3;1/9;1/27;1/81;1/243;1/729
b) 1;1/4;1/6;1/8;1/10;1/12;1/14
c) 1; \sqrt{2}; 2; \sqrt{8};
d) 3;7;15;31;63;127;255;511

J'ai réussi à faire la liste a) b) et d) cependant je suis bloqué sur la c).
De plus par la suite il faut trouver le terme initial de chaque liste. J'ai trouvé:

liste a) u_{0}=1
liste b) u_{0}=1/2
liste c) u_{0}=1
liste d) u_{0}=3

Concernant la relation de récurrence ou la formule explicite j'ai eu plus de mal.

Pour la liste a) u_{n+1}=u_{n}/3
la liste d) u_{n+1}=u_{n}*2+1

Je n'ai pas réussi la liste c) et b) (pour la liste b) je ne comprend pas comment on passe de chaque terme à l'autre même si j'ai pu remarquer que chaque dominateur des termes augmente de +2.) (pour la c) je ne comprend pas la logique de la suite aussi)

Merci de votre aide,
Bonne soirée

Posté par
hekla
re : suites numériques 12-03-22 à 19:03

Bonsoir

Pour la liste a) êtes-vous sûre du premier terme

on passe bien de 1/3 à 1/9 en divisant par 3, mais comment peut-on justifier le passage de 1/2 à 1/3

 c ) \sqrt{8}=2\sqrt{2}

Posté par
Yaya1304
re : suites numériques 12-03-22 à 19:04

le premier terme est 1 de la liste a)

Posté par
hekla
re : suites numériques 12-03-22 à 19:08

Maintenant il n'y a plus de problème pour la première liste

pour la b)  le premier terme ne serait-il pas 1/2 ?

ce qui permettrait d'utiliser votre remarque
\dfrac{1}{n+2}

Posté par
Yaya1304
re : suites numériques 12-03-22 à 19:10

pour la liste c) chaque terme est multiplié par racine de 2 ?

Posté par
littleguy
re : suites numériques 12-03-22 à 19:11

Bonjour,

Pour la c je vois
\sqrt{1}; \sqrt{2}; \sqrt{4}; \sqrt{8};

Posté par
Yaya1304
re : suites numériques 12-03-22 à 19:11

ah oui vous avez raison c'est un manque de rigueur de ma part j'avais bien écrit ça dans mon cahier.

Posté par
hekla
re : suites numériques 12-03-22 à 19:12

Pour c oui

Posté par
Yaya1304
re : suites numériques 12-03-22 à 19:13

pour la c) j'aurai mis: 1;\sqrt{2};2;\sqrt{8}:4;4\sqrt{2};8

Posté par
Yaya1304
re : suites numériques 12-03-22 à 19:15

je ne comprend pas la remarque dont vous parlez ? D'où vient-elle ?

Posté par
hekla
re : suites numériques 12-03-22 à 19:16

Oui on passe bien d'un terme au suivant en multipliant par \sqrt{2}

Posté par
hekla
re : suites numériques 12-03-22 à 19:17

pour la b  s'agit-il de cela  ?

Citation :
chaque dénominateur des termes augmente de +2.)

Posté par
Yaya1304
re : suites numériques 12-03-22 à 19:18

oui

Posté par
Yaya1304
re : suites numériques 12-03-22 à 19:19

littleguy @ 12-03-2022 à 19:11

Bonjour,

Pour la c je vois
\sqrt{1}; \sqrt{2}; \sqrt{4}; \sqrt{8};


Je n'ai pas du tout le même résultat lequel est bon ?
J'ai:   1;\sqrt{2};2;\sqrt{8}:4;4\sqrt{2};8

Posté par
hekla
re : suites numériques 12-03-22 à 19:23


\sqrt{1}=1 
 \\ 
 \\ \sqrt{2}
 \\ 
 \\ \sqrt{4}=2
 \\ 
 \\ \sqrt{8}=2\sqrt{2}

Posté par
Yaya1304
re : suites numériques 12-03-22 à 19:24

Merci!
Concernant la liste b) je ne comprend pas comment passer d'un terme à l'autre

Posté par
hekla
re : suites numériques 12-03-22 à 19:30

Pour la b) ce que vous avez dit, mais ici il s'agit d'une forme explicite

 u_n=\dfrac{1}{n+2}

Pour  n=0 on a u_0=
Pour  n=1 on a u_1=
Pour  n=2 on a u_2=

Posté par
Yaya1304
re : suites numériques 12-03-22 à 19:32

je l'ai dis dans mon premier post:
u_{0}=1/2
u_{1}=1/4
u_{2}=1/6
u_{3}=1/8
etc...

Posté par
Yaya1304
re : suites numériques 12-03-22 à 19:33

pourquoi divise t-on 1 par n+2 et non par n+1 ?

Posté par
hekla
re : suites numériques 12-03-22 à 19:36

La relation que vous cherchez n'est pas une relation de récurrence

Si l'on prend u_n=\dfrac{1}{n+2},  vous récupérez bien

les termes de la suite. C'est pour cela que je vous les ai fait calculer

Posté par
hekla
re : suites numériques 12-03-22 à 19:37

On augmente bien de 2 pas de 1

Posté par
Yaya1304
re : suites numériques 12-03-22 à 19:47

ah oui j'ai cru qu'il fallait faire de la même manière quand c'est explicite. Donc la formule explicite de b) est u_{n} =\frac{\ 1}{\ n+2} et celle de c) u_{n+1} = u_{n}*\sqrt{2}

Posté par
Yaya1304
re : suites numériques 12-03-22 à 19:51

les relations de récurrences pour la liste a) et d) étaient-ils bon ?

Posté par
hekla
re : suites numériques 12-03-22 à 19:53

Au temps pour moi

2=2\times 1\quad  4=2\times 2\quad 6=2\times 3\quad 8=2\times 4

  c'est une multiplication et non une addition

en répondant à mes questions 19 :30 on aurait dû avoir  1/2  1/3 1/4 1/5

Posté par
Yaya1304
re : suites numériques 12-03-22 à 19:55

ce n'est pas possible, l'exercice donne 1/2 ; 1/4 ; 1/6 ; 1/8 comme premiers termes

Posté par
Yaya1304
re : suites numériques 12-03-22 à 19:56

mes réponses de 19:47 et de 19:51 (qui renvoie a mon premier message) sont-elles  bonnes ?

Posté par
hekla
re : suites numériques 12-03-22 à 19:58

Résumons

pour a)  u_{n+1}=\dfrac{1}{3} u_n\quad u_0=1

pour b u_{n+1}=\dfrac{1}{2n}

Pour c) u_{n+1}=u_n\sqrt{2}\quad u_0=1

Pour d) u_{n+1}=2u_n+1\quad u_0=3

Posté par
hekla
re : suites numériques 12-03-22 à 20:00

C'est bien pour cela que j'ai écrit un erratum  pour b)
cela ne pouvait pas être n+2   mais 2n

Posté par
Yaya1304
re : suites numériques 12-03-22 à 20:05

le b) n'est pas bon ? c'est 1 / 2n+2 ?

Posté par
hekla
re : suites numériques 12-03-22 à 20:18

Pour b on a deux possibilités

si vous commencez à 0 ce ne peut être 1/(2n)  car ce ne serait pas défini pour 0

donc si l'on commence à 0 alors u_n=\dfrac{1}{2(n+1)}=\dfrac{1}{2n+2}

si l'on considère que l'on n'est pas obligé de commencer à 0  alors on peut prendre

u_n = \dfrac{1}{2n}\ n\in \N^*

J'espère n'avoir plus écrit d'inepties

Posté par
Yaya1304
re : suites numériques 12-03-22 à 20:25

donc si je prend U(n)=1/ n*2+2  on considère que je commence à 0. Mais si je prend U(n) = 1 / 2n je ne commence pas à 0. Cependant quelle est la différence ? Que veut dire commencer à 0 ?
Désolé si j'ai pas mal de question c'est un nouveau chapitre et ma professeur n'explique pas beaucoup nous devons nous débrouiller la plupart du temps...
Merci beaucoup de votre aide!

Posté par
hekla
re : suites numériques 12-03-22 à 20:39

Une suite est définie sur \N  ou une partie de \N.

Mais on ne peut pas diviser par 0 on est alors obligé de commencer à  1  ou tout autre nombre entier supérieur

Il y aura un décalage de 1 dans les éléments de la suite  comme le montre le tableur.
suites numériques

Ai-je répondu ?  sinon n'hésitez pas à poser les questions

Posté par
Yaya1304
re : suites numériques 12-03-22 à 20:46

je comprend beaucoup mieux merci infiniment ! Cela veut dire que soit je commence à zero et donc je ne peux pas diviser par 0 et je fais 1/2n+2 ou soit je commence après zéro et je fais simplement 1/2n. Quelle façon est préférable dans un exercice ?

Posté par
Yaya1304
re : suites numériques 12-03-22 à 20:47

sa serait peut être en considérant que je commence à zéro, sinon cela décalerait toute ma suite.

Posté par
Yaya1304
re : suites numériques 12-03-22 à 20:48

et si je ne pense pas à ajouter que je ne commence pas a zéro cela n'aurait pas de sens.

Posté par
hekla
re : suites numériques 12-03-22 à 21:01

En général, vous avez l'un ou l'autre. Si l'on vous donne le terme général, alors vous savez à partir de quel indice commencer.

Il est rare que vous ayez à définir les deux.

Dans votre exercice je prendrais bien u_n=\dfrac{1}{2n}  et n\geqslant 1,

la suite, par rapport aux autres, est donnée de manière explicite alors pourquoi pas continuer
la différence et la faire commencer à 1.
Cela montrerait qu'une suite ne commence pas nécessairement à 0.

Posté par
Yaya1304
re : suites numériques 13-03-22 à 15:57

merci je vois

Posté par
Yaya1304
re : suites numériques 13-03-22 à 15:57

je pense que tout a été vu merci de votre aide!

Posté par
Yaya1304
re : suites numériques 13-03-22 à 15:58

par ailleure, auriez-vous un schéma de la fonction racine carré avec un exemple de forme explicite et de recurrence pour voir graphiquement ?

Posté par
hekla
re : suites numériques 13-03-22 à 17:05

Bonjour

Je ne vois pas trop ce que vous voulez.
Une suite est définie par une relation de récurrence et le premier terme ou explicitement.
Cependant, vous verrez deux suites où l'on peut facilement passer d'une forme à l'autre.

Les suites arithmétiques \begin{cases} u_0\\ u_{n+1}=u_n+r\end{cases}

Les suites géométriques \begin{cases} u_0\\ u_{n+1}=q\times u_n\end{cases}

Dans votre exercice, les suites a) et c) sont des suites géométriques  

de raison respectives  \dfrac{1}{3},\  \sqrt{2}

Posté par
hekla
re : suites numériques 13-03-22 à 17:06

respective

Posté par
Yaya1304
re : suites numériques 13-03-22 à 17:17

je parlais de quelque chose comme sa

suites numériques

Posté par
hekla
re : suites numériques 13-03-22 à 17:36

Je ne vois toujours pas  

quelque chose comme ça avec les termes affichés

suites numériques

Posté par
Yaya1304
re : suites numériques 13-03-22 à 17:46

oui c'est sa sauf que je le voudrai avec des suite recurrenciels pour voir comment chaque terme evolue graphiquement.

Posté par
hekla
re : suites numériques 13-03-22 à 18:04

J'ai pris u_{n+1}=\dfrac{2u_n+1}{u_n+3}

en noir  la courbe d'équation y=\dfrac{2x+1}{x+3}

en pointillé y=x Toutes ne sont pas ainsi

suites numériques



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