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suites numériques et comportement de suite
Bonjour j'ai un dm à faire, comportant 2 exercices, le premier me pose problème, il est assez long , voici le sujet:
(Vn) est la suite définie pour tout entier naturel n par { V0 =1
{ Vn+1 = 9/6-Vn
1. Démontrer que si pour un certain entier natural k, 0< Vk< 3 alors 0 <Vk+1< 3
On admet pour la suite de l'exercice que pour tout entier natureln, 0<Vn< 3
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, Vn+1-Vn= (3-Vn)² /6-Vn
3. En déduire le sens de variation de la suite (Vn).
4. (Tn) est la suite définie pour tout n entier naturel par Tn= 1/Vn-3
a. Démontrer que (Tn) est une suite arithmétique de raison -1/3. On pourra calculer Tn+1-Tn.
b. En déduire l'expression de Tn en fonction de n.
c. Donner alors l'expression de Vn en fonction de n.
5 On donne la fonction Seuil écrite en langage Python qui prend en paramètre un nombre réel A et qui retourne l'entier n à partir duquel Vn>A
1 DEF seuil(A)
2 V=.........
3 n=0
4 WHILE V.........A:
5 V=......
6 n=n+1
RETURN n
a. Compléter les lignes 2,4 et 5
b. Que renvoie la commande seuil (2.9)
FIN
Pour l'exercie 1 j'ai écrit:
On note P(n) la proposition "0<Vk< 3
On sait que V0=1
donc P(0) est vraie car 0<1< 3
On sait que Vn+1=9/6-Vn
On note P(n+1) la proposition "0<Vk+1<3
9/6-V0 =9/6-1 = 1,8
donc 0<V0+1<3 = 0<1,8< 3
V0=1 V1=1,8
Par récurrence, on démontre ainsi que 0<Vk<3 pour tout entier k E N
Pour l'exercice 2 j'ai commencé par :pour tout entier n strictement supérieur à 0
mais je n'arrive pas a faire le calcul Vn+1-Vn étant donné que je ne sais pas quoi mettre pour la suite Vn
et donc je ne pouvais pas faire le 3
Merci d'avance pour votre aide, même pour une petite question ( n'hésitez pas à me dire s'il manque quelque chose
La 1) on ne te demande pas une récurence complète mais seulement l'hérédité : "démontrez que P(k) implique P(k+1)".
La récurrence dans son entiereté est ici admise.
On note P(n) la proposition "0<Vk< 3
P(n) ou P(k) ? Et c'est quoi n (ou k) ? Une patate ? On n'est pas dans ta tête.
Pas besoin de répéter cette définition pour P(k+1), à condition de bien la défnir avec le bon quantitifateur au début (mais ça peut être utile pour l'avoir en visuel : "montrons que P(k) => P(k+1), i.e : 0 < vk < 3 => 0 <vk+1 < 3)
9/6-V0 =9/6-1 = 1,8
donc 0<V0+1<3 = 0<1,8< 3
Là tu as montré que si P(0) est vrai, alors P(1) était vrai, ce n'est pas une preuve d'hérédité. Nous ce qu'on veut, c'est que, quelque soit l'entier naturel k, si on a 0<vk<3, alors on a 0<vk+1<3 aussi.
Donc tu poses : Soit k un entier naturel.
Supposons que P(k) soit vrai, alors ...
=> ...
=> ...
=> P(k+1)
L'hérédité est donc vérifiée.
NoPseudoDispo Je suis en train de réfléchir à ce que vous avez dit, j'essaie // Et j'ai vérifié mais l'énoncé et bien le même que sur ma feuille
Bonjour,
Juste une question et je vous laisse :
Dans l'énoncé ne serait-ce pas plutôt Vn+1 = 9/(6-Vn ) ?
Bonjour,
Je suis du même avis que littleguy que je salue...
Les parenthèses manquantes qu'on oublie d'insérer !!
C'est bien Vn+1= 9 / (6-Vn)...
D'ailleurs cela coïncide grandement aux calculs établis par nipaucle lors de l'initialisation de sa récurrence :
V1 = 9 / (6-V0) = 9 / (6-1) = 9/5 = 1.8...
Ce qui est bien évidemment strictement compris en 0 et 3.
littleguy ah oui sûrement, moi j'étais parti pour modifier la propriété à démontrer, en majorant par 3/2 au lieu de 3, mais ça ne collait pas avec la suite.
nipaucle, l'énoncé dit bien et non
, n'est-ce pas ?
La première expression s'écrit 9/(6-Vn), la seconde (9/6)-Vn (ou encore 9/6 - Vn), et elles sont évidemment différentes !
Bon sur ce, propose ta réponse moi je ne serai plus disponible.
J'ai fini par écrire :
0< Un < 3
<=> 0>-Un> -3
<=> 6> 6-Un > 3
<=> 9/6 > 9/(6-Vn) > 9/3
<=> 3/2 < Un+1< 3
<=> P(k+1)
Mais le problème c'est pourquoi 3/2 car normal c'est 0 < 3 donc je sais pas trop quoi en conclure
<=> 6> 6-Un > 3
<=> 9/6 > 9/(6-Vn) > 9/3
Ce passage est faux, mais étant donné que la suite est juste, je suppose que c'est une erreur de frappe. Mais il faudrait le jusitifer : car la fonction inverse est décroissante sur R+*. Et ensuite on multiplie par 9.
Réfléchis un peu, si vk+1 est plus grand que 3/2, peut-il être plus petit que 0 ?
C'est la propriété de transitivté : quelques soient les réels a,b,c : si a>b et b>c, alors a>c.
Je rappelle qu'il nous suffit d'une implication, pas besoin d'une équivalence, que tu as d'ailleurs mis à la dernière ligne, et qui est fausse.
Pour la 2)
Il faut te relire, il manque l'essentiel de ta réponse : pour tout entier naturel n, quoi ??
Vn+1-Vn=9/(6-Vn) - Vn.
Tu mets au même dénominateur et tu factorises, en t'aidant de l'énoncé qui te dit où tu dois arriver.
NoPseudoDispo j'ai écrit pour tout entier n strictement > 0
Vn+1 -Vn = 9/(6-Vn)-Vn
(9-n(6-n))/(6-n)
(9-6n+n)/(6-n)
(n-3)/(6-n)
Il faut que tu te concentres un peu !
Déjà hier, l'erreur portait sur le passage à l'inverse, que j'ai cité, et non sur le passage que tu as recopié en me répondant (à savoir, l'ajoute de 6).
Tu as dejà confondu un et vn.
Maintenant tu confonds vn et n !
Bref, c'est juste, en remplaçant tout les n par des vn.
Pour le signe, il faut m'expliquer d'où ça sort.
NoPseudoDispo Merci beaucoup // pour le signe j'ai utilisé une propriété que j'ai apprise , étant donné que le calcul contient un ² , le résultat sera positif est donc supérieur à 0 ? Après je peux aussi faire un tableau de signe
Pour l'ajout du 6 j'ai marqué :
6-0>6-Vn>6-3
6>6-Vn>3
1/6 > 1/(6-Vn)> 1/3
Pour l'ajout du 6 j'ai marqué :
6-0>6-Vn>6-3 1
6>6-Vn>3 2
1/6 > 1/(6-Vn)> 1/3 3
L'ajout du 6 est bon, je l'ai déjà dit. L'erreur est quand tu passes à l'inverse, entre la ligne 2 et 3 : il faut changer l'ordre ! Car la fonction inverse est décroissante sur R+*.
Tu peux m'expliquer, si tu n'as pas changé l'ordre ici, comment tu as changé l'ordre dans la ligne d'après ?
Pour le signe, c'est faux. Ce qui est positif, c'est le carré. (3-vn)2 sera positif, parce que c'est le carré d'un réel.
Il faut regarder le signe du dénominateur maintenant...
NoPseudoDispo ah d'accord j'ai compris merci , donc ça devient 1/6<1/(6-Vn) < 1/3
( j'ai changé les signes quand je vais que ça n'allait pas )
Tu as changé l'ordre, pas le signe ! Tu parles comme tu donnes tes résultats : tu balances des trucs n'importe comment en espérant que ça tombe juste. Et je suis pas là pour te noter, si tu ne trouves pas ou ne comprends pas, tu peux demander !
Il faut perdre cette habitude si tu veux progresser. Post bac les profs sont très sévères quand au pipeau, et ils le repèrent très vite.
Pour le signe, alors quel est le signe du dénominateur ? Et un carré c'est positif ou nul. Est-ce-qu'il peut être nul ici ? (Pourquoi ?)
Merci
Le signe du dénominateur est positif , et je pense que le carré ne peut pas être nul ici
J'ai changé l'ordre plutôt quand j'ai vu qu'il n'allait plus dans le bon sens, et que la dernière ligne aller être fausse si je ne le faisais pas
Oui j'ai bien compris ce que tu as fait, et je te déconseille de faire ça. En contrôle pour grapiller des points, si le prof est tolérant, au pire. Mais pas toujours. Ca t'empêchera de progresser.
Je m'en fou de ce que tu penses, je veux que tu m'expliques d'où ça sort. Une réponse non justifiée ne vaut rien.
En maths, on ne te demande pas du pipeau, qu'il tombe vrai ou pas, mais des démonstrations. Tant que tu refuseras de démontrer, tes notes ne feront que dégringoler chaque année.
Le carré peut-être nul s'il est égal à 0, mais dans ce cas il faudrait que Vn soit égal à 3, et ce n'est pas le cas dans l'exercice
Voilà, et de même, comme Vn est plus petit que 3, le dénominateur est strictement positif.
Finalement, pour tout entier naturel n, Vn+1 - Vn est strictement positif, donc la suite (Vn) est strictement croissante.
Je t'écoute pour la question 4).
Je préfère le rédiger, pas sûr que tu aies compris.
On a, pour tout entier naturel n : vn < 3 => -vn > -3 => 6-vn > 3 > 0.
De même, vn < 3 => -vn > - 3 => 3-vn > 0 => (3-vn)2 > 02
Ça me rassure car j'avais quand même compris votre petit rédiger
Pour la 4, je sais que Tn+1 = Tn + r
Non, tu ne sais pas que Tn+1 = Tn + r
Ca, c'est ce qu'on veut démontrer : montrer que (Tn) est une suite géométrique, ça veut dire montrer qu'il existe r tel que pour tout entier naturel n, Tn+1 = Tn + r.
Pour trouver ce r, l'énoncé te proposer de calculer Tn+1 - Tn, tu n'as qu'à le suivre :
Pour tout entier naturel n,
Tn+1 - Tn = (on exprime en fonction de Vn) = ... = ... = une constante
Donc (Tn) est une suite arithmétique de raison la constante qu'on a trouvé.
Si Tn= 1/(Tn-3) alors Tn+1 = 1/((Tn+1)-3)
Encore une fois, tu confonds les lettres ! v, u, t, et n sont 4 lettres différentes qui ont 4 signifcations différentes dans cet exercice (enfin u n'existe même pas ici).
Donc Tn= 1/(Vn-3), est-ce que dans l'exercice je peux me permettre d'utiliser Vn+1 pour Tn+1 étant donné qu'on le connaît ?
Je préfères vous demandez pour voir si je suis sur la bonne voix, et que je ne me perde pas dans ce que je fais
Euh il y a une coquille dans mon message de 16H08 : "montrer que (Tn) est une suite arithmétique", et non géométrique évidemment.
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