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suites prepa hec option scientifique

Posté par damz (invité) 09-09-05 à 22:32

Bonjour à tous je suis nouveau sur ce forum et je suis en preépa hec option S. Je bloque sur un DM que j'ai à faire pour lundi.
Voici l'énoncé d'un exercice

Soit la suite de terme général
an=\frac{\sqrt{n}\(2n\\n\)}{4^n} pour n1.

1) Calculer a_1  (j'ai réussi ce qui donne 1/2)
puis, pour tout n1, calculer le quotient \frac{a_{n+1}}{a_n}

J'ai du m'embrouiller dans mes calculs car je tombe sur quelque chose d'incohérent.

2) Démontrer que pour tout entier n1
a_n  \sqrt{\frac{n}{2{n+1}}  

Il faut répondre à la question 1) pour réussir celle là (voilà pourquoi je ne réussis pas)

Pour la question 3 il faut donner le sens de variation de la suite et montrer qu'elle converge mais je pense y arriver si quelqu'un m'aide pour ces 2 premieres questions.
Merci d'avance

Posté par Mayo (invité)re : suites prepa hec option scientifique 09-09-05 à 23:05

1/ Bien joué pour la premiere question, a_{1}=\frac{1}{2}
Pour la suite je dirai :
Soit n \geq 1
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{\sqrt{n+1}\(2n+2\\n+1\)}{4^{n+1}}\times\frac{4^{n}}{\sqrt{n}\(2n\\n\)}
Après simplification et en developpant tes coefficients du binôme, il vient:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\sqrt{\frac{n+1}{n}}\times\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^{2}}=\sqrt{\frac{n+1}{n}}\times\frac{2(2n+1)}{(n+1)}.
Tu peux aussi injecter le (n+1) au dénominateur dans ta racine pour obtenir:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\sqrt{\frac{1}{n(n+1)}}\times2(2n+1)

Posté par Mayo (invité)re : suites prepa hec option scientifique 09-09-05 à 23:08

ouille malheureux j'ai deja oublié un 4 au denominateur dès la premiere ligne

Posté par
dad97 Correcteurre : suites prepa hec option scientifique 09-09-05 à 23:08

Bonsoir,

4$\rm \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\sqrt{n+1}\times \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2\times 4^{n+1}}}{\sqrt{n}\times \frac{(2n)!}{(n!)^2\times 4^n}

4$\rm =\frac{\sqrt{n+1}\times(2n+2)!(n!)^2\times 4^n}{\sqrt{n}\times (2n)!((n+1)!)^2\times 4^{n+1}}

4$\rm =\sqrt{\frac{n+1}{n}}\frac{(2n+2)(2n+1)}{4(n+1)^2}

donc 4$\rm\blue\fbox{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\sqrt{\frac{n+1}{n}}\times\frac{2n+1}{2(n+1)}}

Posté par
dad97 Correcteurre : suites prepa hec option scientifique 09-09-05 à 23:09

oups en retard désolé Mayo

Posté par Mayo (invité)re : suites prepa hec option scientifique 09-09-05 à 23:10

1/ Bien joué pour la premiere question, a_{1}=\frac{1}{2}
Pour la suite je dirai :
Soit n \geq 1
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{\sqrt{n+1}\(2n+2\\n+1\)}{4^{n+1}}\times\frac{4^{n}}{\sqrt{n}\(2n\\n\)}
Après simplification et en developpant tes coefficients du binôme, il vient:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\sqrt{\frac{n+1}{n}}\times\frac{(2n+2)(2n+1)}{4(n+1)^{2}}=\sqrt{\frac{n+1}{n}}\times\frac{(2n+1)}{2(n+1)}.
Tu peux aussi injecter le (n+1) au dénominateur dans ta racine pour obtenir:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\sqrt{\frac{1}{n(n+1)}}\times\frac{(2n+1)}{2}

Posté par Mayo (invité)re : suites prepa hec option scientifique 09-09-05 à 23:11

un homme avertit en vaut 2

Posté par damz (invité)re : suites prepa hec option scientifique 09-09-05 à 23:30

Merci pour la question 1 qui etait en effet très difficile mais surtout merci pour cette aide précieuse que vous m'apportez. Me conseillez vous une récurrence pour la question 2 ou seul un raisonnement par équivalence conviendrait ?

Posté par damz (invité)re : suites prepa hec option scientifique 09-09-05 à 23:38

euh juste une question pour mayo car lorsque tu injectes (n+1) au dénominateur dans la racine carrée pourquoi le 2(n+1) présent dans le facteur de droite au dénominateur se transforme-t-il en 2 ?

Posté par Mayo (invité)re : suites prepa hec option scientifique 09-09-05 à 23:39

je t'avouerai que je suis plutot deconcerté par la question 2... on a bien une relation de recurrence entre a_{n+1} et a_{n} mais je n'arrive pas à aboutir, parce que l'on devrait majorer par \sqrt{\frac{n+1}{2n+3}} et je n'obtiens pas 2n+3 la seule facon étant je pense de l'obtenir d'un factorielle mais ...
Pour l'equivalence pourquoi pas mais en partant de quoi? l'expression de a_{n} ? je pense que le numérateur reste dur à majorer à cause du (2n)!

Posté par Mayo (invité)re : suites prepa hec option scientifique 09-09-05 à 23:42

en fait tu sais que \forall n\geq 1, n+1\geq0 donc tu peux en prendre la racine en l'élevant du carré, et lorsque tu injectes le (n+1) tu as en fait (n+1)^{2} dans la racine qui se simplifie. Pour le 2 il ne bouge pas puisqu'il est en facteur.

Posté par damz (invité)re : suites prepa hec option scientifique 10-09-05 à 12:04

ah oui ça y est . Merci mayo . Quant à la question 2 je n'ai pas réussi non plus par équivalence le factoriel me gene en effet beaucoup donc si quelqu'un d'autre a une idée .....

Posté par damz (invité)re : suites prepa hec option scientifique 11-09-05 à 00:13

Posté par Mayo (invité)re : suites prepa hec option scientifique 11-09-05 à 00:23

je peux te demander dans quel lycée tu es?

Posté par damz (invité)re : suites prepa hec option scientifique 11-09-05 à 12:38

lycée kerichen à brest pourquoi ?


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