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Suites qui n'ont pas de limite

Posté par Profil Ramanujan 11-09-23 à 19:14

Bonjour,
Montrer que la suite de terme général u_n n'a pas de limite :
1) où pour tout n \geq 2, u_n est l'inverse du nombre de diviseurs premiers de n
2) où u_n=\sin \dfrac{n^2 \pi}{3} pour tout n \in \N.

Je bloque sur la première question. u_n est l'indicatrice d'Euler ?
Je sais que pour montrer qu'une suite n'a pas de limite, on regarde les suites extraites, et on essaie de trouver 2 suites extraites qui ont des limites différentes.

Posté par
verdurinre : Suites qui n'ont pas de limite 11-09-23 à 19:32

Bonsoir,
pour la première question :
si n est premier ou une puissance de nombre premier alors un=1, dans le cas contraire un1/2.

Posté par Profil Ramanujanre : Suites qui n'ont pas de limite 11-09-23 à 19:45

Merci, je suis d'accord avec vous.
Mais je ne vois pas quelles suites extraites prendre pour conclure.

Posté par
verdurinre : Suites qui n'ont pas de limite 11-09-23 à 19:53

Par exemple u_{2^n} et u_{6^n}.
Elles sont constantes et valent respectivement 1 et 1/2.

Posté par Profil Ramanujanre : Suites qui n'ont pas de limite 11-09-23 à 20:06

Merci

Pour la 2, je continue de réfléchir un peu.

Posté par
lionel52re : Suites qui n'ont pas de limite 11-09-23 à 20:20

Ce sont des bons exos de terminale spécialité maths ça, je les poserai à mes élèves

Merci pour la référence

Posté par Profil Ramanujanre : Suites qui n'ont pas de limite 11-09-23 à 20:32

2) u_{3n}=\sin (3 n^2 \pi)=0

J'ai du mal à trouver une autre sous-suite qui a une limite différente de 0.

Posté par Profil Ramanujanre : Suites qui n'ont pas de limite 11-09-23 à 20:33

Les suites extraites sont vues en terminale spé maths ?

Posté par
verdurinre : Suites qui n'ont pas de limite 11-09-23 à 21:15

Pour la question 2 la suite (un) ne prend qu'un nombre fini de valeurs.
Si elle admet une limite alors elle est constante à partir d'un certain rang.
Je ne suis pas au courant des derniers programmes, mais l'argument me semble accessible à des élèves de terminales.

Posté par Profil Ramanujanre : Suites qui n'ont pas de limite 11-09-23 à 21:48

Dans la fiche d'exercices, cet exercice est classé dans la partie : "Suites extraites".
Mais je ne sais pas si c'est possible de le résoudre en utilisant les suites extraites.

Ok montrons que (u_n) prend un nombre fini de valeurs.
On a u_0=0, u_1=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, u_2=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, u_3=0 etc...
Je ne vois pas comment le démontrer. J'ai essayé ce qui suit mais sans succès.


On a u_{3n}=0
u_{3n+1}=\sin ( \dfrac{(3n+1)^2 \pi}{3} )
Donc u_{3n+1}=\sin (3n^2 \pi+2n \pi+ \dfrac{\pi}{3} )
u_{3n+1}=\sin (3n^2 \pi+ \dfrac{\pi}{3} )

Je bloque ici car on ne sait pas si 3n^2 est pair ou impair.

Posté par
verdurinre : Suites qui n'ont pas de limite 11-09-23 à 22:02

La suite (un) est extraite de la suite (vn) définie par v_n=\sin(n\frac\pi3) qui est évidement périodique de période 6.
Parfois j'ai envie de pleurer.

Posté par Profil Ramanujanre : Suites qui n'ont pas de limite 11-09-23 à 22:26

Je n'avais pas pensé à cet aspect, je n'ai jamais vu d'exercice auparavant sur les suites extraites où on utilisait la période.

Montrons que (v_n) est de période 6.
On raisonne modulo 6. On effectue la division euclidienne de n par 6.
Si n=6q+0 alors v_n=0
Si n=6q+1 alors v_n=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
Si n=6q+2 alors  v_n=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
Si n=6q+3 alors  v_n=0
Si n=6q+4 alors  v_n=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}
Si n=6q+5 alors  v_n=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}

(v_n) prend un nombre fini de valeurs donc (u_n)=(v_{n^2}) aussi.


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