Bonjour

1/Determiner un reel a tel que la suite de terme general Vn=Un-a soit une suite
geometrique

Un+1 - a = ((3/5)Un)+1 - a
                = ((3/5)Un)+1 - (5/5)a
                = (3Un - 5a)/5  + 1
                = (3Un - 3a - 2a)/5  +1
                = (3Un - 3a)/5  - 2a/5  + 1
Un+1 - a = ((3/5)(Un-a)) - 2a/5 +1

Or on a posé Un+1 -a =Vn+1 et Un-a=Vn
D'où
Vn+1=(3/5)Vn - 2a/5 +1

On constate que (Vn) peut être géométrique pour - 2a/5 +1 =0
soit a = 5/2

2)Expression de Vn :
Vn géométrique de raison 3/5 donc

Vn = Vo (3/5)ⁿ

or Vo = Uo - a = 2 - 5/2 = -1/2

Vn = -1/2 *  (3/5)ⁿ

Expression de Un
Un = Vn + a = Vn + 5/2

d'où Un =  -1/2 *  (3/5)ⁿ + 5/2

3) Convergence

Un+1 - Un = Vn+1 + a  - (Vn + a)
                  = Vn+1 - Vn
                  =  -1/2 *  (3/5)ⁿ⁺¹ - (-1/2 *  (3/5)ⁿ)
                  = (-1/2 *  (3/5)ⁿ) (3/5 - 1)
                  = (-1/2 *  (3/5)ⁿ) (-2/5)
Un+1 - Un = 1/5 * (3/5)ⁿ)    

donc Un+1 - Un >0 <=> Un croissante

Or lim Un pour n--> +oo = 5/2  (c immédiat!)

Un croissante et bornée donc Un converge

4) Sn?

On peut repartir de Vn = Un - a et poser Tn = Vo +V1 +... + Vn  somme
des n premiers termes d'une suite géométrique de premier terme
Vo=-1/2  et de raison q=3/5 (cf. cours)

On note que Tn = Uo - a + U1 - a +...+ Un - a
d'où Tn = Sn - (n+1)a
d'où Sn = Tn + (n+1)a

On trouve Sn = -5/4  * ( 1 - (3/5)ⁿ⁺¹) + 5/2 (n+1)

Ensuite étudier convergence de Sn (qui diverge...)

Je te laisse refaire calcul et raisonnement pour question 4 à partir
des indications : dis-moi si pb!

à bientôt

Guille64

1/ et 2/

V(n) = U(n) - a
V(n+1) = U(n+1) - a

V(n+1) = (3/5)U(n) + 1 - a
A identifier avec
V(n+1) = q.(U(n) - a)

-> le système:
(3/5) = q
1 - a = -qa

-> a(1-q) = 1
a = 1/(2/5) = 5/2

Donc la suite V(n) = U(n) - (5/2) est géométrique de raison q = 3/5
On a V(0) = U(0) - (5/2) = 2 - (5/2) = -1/2

V(n) = -(1/2). (3/5)^n

U(n) = V(n) + 5/2
U(n) = (5/2) - (1/2). (3/5)^n
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3/
Un est croissante et lim(n->oo) Un = 5/2.

Un converge vers 5/2
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4/
Sn = (5/2)(n+1) - (1/2).[1 + (3/5) + (3/5)² + (3/5)³ + ...(3/5)^n]
Sn = (5/2)n + (5/2) - (1/2) - (1/2).(3/5).((3/5)^n  -1)/((3/5)-1)
Sn = (5/2)n + 2 + (3/4).((3/5)^n  -1)
Sn = (5/2)n + 2 - (3/4).(1 - (3/5)^n)

lim(n->oo) Sn = oo

Sn diverge.
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Sauf distraction.