u₀=1 pardon

non, utilise le graphe, tu sais que e^-x > x avant et e^-x < x après

donc par exemple si u_2p est après u_2p+1 sera plus petit et u_2p+2 sera à nouveau à droite.
donc toutes les valeurs pairs sont à droite et toutes les valeurs impaires à gauche.

Après pour montrer la croissance ou la décroissance, il faut ruser un peu.
|e^-x-| = |e^-x-e^-|
et là on pourrait utiliser le théorème des accroissements finis par exemple
il existe c tel que f '(c)=(f(b)-f(a))/(b-a) on a prendre f(x) = e^-x ; a= et b=x, ça donne :
(e^-x-)= -e^-c (x-) et c est entre et x (ou x et )
donc entre 0 et 1 et donc |e^-x-e^-| < |x-|

cette relation montre que la distance entre U_n et diminue et donc que la décroissance et la croissance des sous suites pairs et impaires.

Je ne pense pas qu'il faille utiliser votre méthode pour la 3° question, je n'ai pas vu le théorème des accroissement finis

et votre méthode ne me dit rien du tout! Il faut utiliser le fait que un+1 = f(un) je pense

ha dommage, c'était élégant. on apprend plus le théorème des accroissements finis maintenant ?
alors je ne sais pas, il faut trouver autre chose, il faut majorer |e^-x-|/|x-| d'une façon ou d'une autre. Peut-être en étudiant la fonction.

Je suis quasiment persuadé qu'il faille utiliser la composé car si l'on prend f(un)=e^-un , on a montré que f était décroissante à la question 1 donc on peut utiliser les suites de rang pairs et impairs pour trouver les limites car il s'agit de la question suivante...

Pour vous aider je peux écrire les question d'après:
4/ En déduire que (u2p) et (u2p+1) convergent respectivement vers l1 (0,1) et l2(0,1)

5/ Montrer que l1=l2=
Indication : remarquer et justifier que l1 et l2 sont solutions de l'équation e^-e_-x=x

e(^-e)^(-x))=x

bonjour,
f:xe^-x est décroissante sur I=[0,1] et f(I)I donc fof est croissante sur I
tu peux faire une récurrence
*tu vérifies que
**tu montres que   c'est immédiat cela découle de la croissance de fof sur I

ceci est pour la première suite ?

oui ,pour l'autre tu vérifies que et tu montres que

Merci mais je ne vois pas très bien à quoi corresponde ces suites de rang pair et impair par exemple u_2p= e^-u2p ?

Est-ce que u_2p est encadrée par 0 et 1 comme un+1 ?

c'est un U_n comme un autre, donc oui évidemment.