Niveau Reprise d'études

Suites récurrentes

Posté par
vcent1 16-12-17 à 17:15

Bonjour,

Je voudrai s'il existe une démarche pour étudier l'existence d'une suite.
Par exemple je dois faire cela, pour Uo>= 2 avec Un+1 = racine( 2-Un )
Je sais que ma fonction f est décroissante, et que elle est définie pour tout x E ( -oo ; 2 )
( Du moin je crois )
Mais mon problème pour ce genre d'exercice c'est que je ne sais pas par ou commencer, ni quand est ce que j'ai "fini" d'étudié l'existence de la suite..

Merci d'avance de votre aide

Posté par re : Suites récurrentes 16-12-17 à 17:29

Bonjour,

si elle est définie sur ]-;2] pas question de commencer avec un u0 > 2

Bon mais supposons un u₀ acceptable (par exemple u₀ = 0).
la première des choses à faire c'est de se faire une idée du comportement de la suite.
_{tu as la méthode expliquée là si tu veux

tu dessines la courbe (ici y=(2-x) et la droite y=x qui sert à rabattre les points de l'axe des y sur l'axe des x pour pouvoir continuer la récurrence. Les segments semblent rebondir un coup sur la courbe et un coup sur la droite; A chaque verticale bleue, il y a un terme de la suite.}
ça donne ça
Suites récurrentes
et donc tu vois une suite qui saute autour de sa limite (qui est 1) et tu sais ce que tu dois démontrer (que les termes de la suite d'indice pair sont croissants et ceux d'indice impair décroissants, et que ces deux sous-suites convergent vers 1.

Posté par re : Suites récurrentes 16-12-17 à 17:37

Bonjour,

Je suppose que $u_0 <= 2$ sinon ça ne marche pas.

Pour clarifier, le système :
$\left\lbrace\begin{array}{l} U_0 = x\\ U_{n+1} = f(U_n) \end{array}\right.$
a des solutions si il existe au moins une suite $(u_n)_{n\in\N}$ qui vérifie les deux égalités, donc dans ce cas précis si pour tout $n\in\N$ , $u_n$ est dans le domaine de définition de $f$ .

Ici il faut montrer $\forall n \in \N , u_n \!\in \: ]-\infty , 2[$ .

Posté par re : Suites récurrentes 16-12-17 à 17:39

Bonsoir,
si $u_0>2$ alors $u_1$ n'existe pas.
En effet la fonction racine carrée est définie pour les réels positifs.

Si $u_0<-2$ alors $u_1>\sqrt{4}$ et $u_2$ n'existe pas.

Il reste à examiner le cas $-2\le u_0\le 2$ .
Pour ceci le fait que la fonction $x\mapsto\sqrt{2-x}$ soit décroissante est un renseignement utile.

Posté par re : Suites récurrentes 16-12-17 à 17:44

Bonjour,
@vcent1, si tu as un énoncé correct, poste le, sinon ne poste pas n'importe quoi.

Posté par re : Suites récurrentes 16-12-17 à 17:46

Merci pour vos réponse clair et rapide je pense avoir compris la logique de la démarche pour finir mon exercices.

Désolé Razes pour mon explications faites un trop rapidement, je ferai attention la prochaine fois