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suites récurrentes

Posté par
oumy1
26-09-22 à 22:46

Bonjour je dois rendre cet exercice qui fait parti d'un DM et j'ai des difficultés dans la question 2) et 3)b). j'ai vraiment besoin de votre aide, merci d'avance.

soit a n réel strictement positif.le but de l'exercice est d'étutier la suite (nU) définie par:
U0=1 et pour tout n   Un+1=(aUn)/(Un+a).

1) montrer par recurrence que pour tout n , Un>0.
2) Montrer que Un est décroissante.
3)a) calculer, en simplifiant au maximun U1, U2 et U3 en fonction de a et conjecturer, pour tout n , l'expression de Un en fonction de a et de n.
b) Démontrer la conjecture précédente en raisonnant par récurrence.
4) On propose une autre méthode pour retrouver le résultat de la question précedente. dans cette question on utilisera  pas les résultats de la question 3).
on pose, pour tout n tn=a/Un
a)Démontrer que (tn)) est une suite arithmétique .
b)En déduire pour tout n, l'expression de tn puis celle de Un en fonction de a et de n.

j'ai fait:
1)initialisation: pour n=0   U0=1 et U0>01>0 la propriété est vraie au rang o
Hérédité: soit k0, supposons la propriété vraie au rang k tel que Uk>0.
montrons qu'elle est vraie au rang k+1 c'est à dire Uk+1>0.

on a Uk>0
a*Uk>0
(aUk)/(Uk+a)
donc Uk+1>0
la propriété est donc vraie au rang k+1
elle esthéréditaire.
ccl: nous avons montré par récurrenceque pour tout n Un>0.
2) je bloque, je sais qu'elle est décroissante parce que les dénominateurs sont supérieurs aux numérateurs mais je ne sais pas comment faire.
3) U0=1
U1=a/(1+a)
U2= a/(2+a)
U3=a/(3+a)
je ne sais pas comment écrire la conjecture.
comme je n'ai pas trouvé l'expression je ne peux pas faire.
4) tn =a/Un.
t0=a; t1=1+a   t2=2+a
t1-t0=t2-t1=1 alors (tn) est une suite arithmétique de raison r=1 et t0=a.
b)
tn=t0+nr
tn =a+n
on a:tn=a/Un alors Un=a/tn
Un=a/(a+n)
j'ai vraiment besoin d'aide Merci d'avance

Posté par
pgeod
re : suites récurrentes 26-09-22 à 23:52

Citation :
2) Montrer que Un est décroissante.

Il te faut étudier le signe de Un+1 - Un

Posté par
oumy1
re : suites récurrentes 27-09-22 à 07:31

bonjour pgeod , merci de ton aide.
Un+1=aUn / (Un+a)
alors Un+1 - Un=aUn / (Un+a) -Un
                =(aUn-Un2- aUn) /(Un+a)
                =- Un2 / (Un<0   alors Un+1 -Un<0 et Un+1 <Un
La suite (Un) est donc décroissante.
est ce que c'est ça?

pour conjecturer dans  la question 3) je ne sais pas quoi faire et sans réponse a cette question je ne peux pas faire le 3)b) quelqu'un peut m'aider. merci d'avance.

Posté par
larrech
re : suites récurrentes 27-09-22 à 08:05

Bonjour,

Citation :
U1=a/(1+a)
U2= a/(2+a)
U3=a/(3+a)

...

Posté par
oumy1
re : suites récurrentes 27-09-22 à 08:24

Bonjour larrech merci de m'aider.
j'ai trouvé les mêmes résultats que toi (c'est noté plu haut, là ou je bloque

Citation :
3)a) calculer, en simplifiant au maximun U1, U2 et U3 en fonction de a et conjecturer, pour tout n , l'expression de Un en fonction de a et de n.

c'est la conjecture qui me pose des problèmes

Posté par
larrech
re : suites récurrentes 27-09-22 à 08:29

Tu ne vois pas que dans les 3 termes que tu as calculé, tu retrouves l'indice de U au dénominateur?

On peut donc raisonnablement conjecturer que Un=...

Posté par
oumy1
re : suites récurrentes 27-09-22 à 08:45

si j'ai compris Un=a/(n+a) c'est ça?

Posté par
larrech
re : suites récurrentes 27-09-22 à 08:53

Oui. A démontrer maintenant.

Entre nous soit dit tu aurais pu te douter que si tu ne t'es pas trompé en 4b, tu dois trouver la même chose ici.

J'en profite pour te dire que ton 4a ne démontre rien. Tu constates sur les premiers termes, c'est tout.
Il te faut calculer tn+1 en fonction de tn, et faire tn+1-tn

Posté par
oumy1
re : suites récurrentes 27-09-22 à 09:06

effectivement c'est la même chose , mais je nai pas vu .
je vais refaire le 4a) pourras me dire si c'est bon.
.est ce le 2) est bon?

Citation :
Un+1=aUn / (Un+a)
alors Un+1 - Un=aUn / (Un+a) -Un
                =(aUn-Un2- aUn) /(Un+a)
                =- Un2 / (Un<0   alors Un+1 -Un<0 et Un+1 <Un
La suite (Un) est donc décroissante.

Posté par
oumy1
re : suites récurrentes 27-09-22 à 09:15

pour le 4a) démontrer que (tn) est une suite arithmétique:
tn=a/Un  et  tn+1=a/Un+1 alors tn+1-tn = a/Un+1-a/Un   et après ça bloque

Posté par
larrech
re : suites récurrentes 27-09-22 à 09:36

Pour la 2/, effectivement  U_{n+1}-U_n=-\dfrac{U_n^2}{U_n+a} et tu expliques (bien que ce soit évident) pourquoi c'est négatif.

4a/ Tu sais que U_{n+1}=\dfrac {aU_n}{U_n+a}. Tu peux donc facilement exprimer U_{n+1} en fonction de t_n

Posté par
oumy1
re : suites récurrentes 27-09-22 à 10:02

si j'ai bien compris
tn=a/Un  et tn+1=a/ Un+1
alors tn+1 -tn =a/ U n+1 -a/Un
                              =a/(aUn)/(Un+a) - a/Un
                              =a* Un+a/aUn - a/Un
                              =1 donc la suite (tn) est arithmétique de raison r=1 et de premier terme t0=a.
c'est super!!!

pour être parfait il manque la récurrence de la conjecture et des l'initialisation je bloque. peux m'aider encore une fois?

Posté par
larrech
re : suites récurrentes 27-09-22 à 10:18

Il manque des parenthèses à la fin!!

tn+1 -tn =a/ U n+1 -a/Un
                              =a/(aUn)/(Un+a) - a/Un
                              =a* (Un+a)/(aUn) - a/Un

Pour le reste, initialisation: exprime  U_0 en utilisant la formule conjecturée.

Puis hypothèse de récurrence:  U_n=\dfrac{a}{a+n}

Calculer U_{n+1} et  conclure.

Posté par
oumy1
re : suites récurrentes 27-09-22 à 10:37

je vais essayé de faire cette récurrence. je te remercie énormément de ta gentillesse. tu m'as bien aidé.

Posté par
larrech
re : suites récurrentes 27-09-22 à 10:43

C'est avec plaisir

Posté par
tetras
re : suites récurrentes 03-10-22 à 10:39

bonjour j'aimerais poser une question svp pour la question 1

Citation :
on a Uk>0
a*Uk>0


on ne sait rien du signe de a; non?

Posté par
hekla
re : suites récurrentes 03-10-22 à 14:06

Bonjour

Il me semble qu'au début du texte, on a

Citation :
soit a (u)n réel strictement positif.



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