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suites récurrentes

Posté par
oumy1 13-10-22 à 17:45

Bonjour, j'ai cet exercice à faire et j'ai des problèmes pour la question 2) et donc je ne peux pas faire la 3).
Merci de  bien vouloir m'aider.

on considère la suite (Un) définie pour tout entier naturel n par: U0=24 et Un+1=Un+12
1)Montrer que pour tout entier naturel n, Un+1-4=(Un-4)/((Un)+12)+4)
2)en déduire que pout tout entier naturel n,Un+1-41/8(Un-4).
3) Démontrer par récurrence que pour tout n Un+1-4\frac{1}{8}(Un-4)


pour le 1) j'ai écrit:

Un+1-4=[[(Un+12)-4] [(Un+12)+4]] / [(Un+12)+4
=(Un+12-16)/(Un+12)+4
=(Un-4)/(Un-4)/(Un+12)+4.

2)et 3)je ne sais pas comment faire

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
phyelec78re : suites récurrentes 13-10-22 à 18:09

Bonjour,

Votre est 1) ou 2)
1) U_{n+1}={\sqrt{U_n +12}
2)U_{n+1}=\sqrt{U_n }+12

Posté par
phyelec78re : suites récurrentes 13-10-22 à 18:15

si la réponse est 1), votre troisième ligne de calcul est fausse (ou erreur Latex).

Posté par
oumy1re : suites récurrentes 13-10-22 à 18:32

bonjourphyelec78 et merci d'intervenir

c'est le1) j'ai utilisé la forme conjuguée

Posté par
oumy1re : suites récurrentes 13-10-22 à 18:38

oups effectivement j'ai fait une erreur en écrivant, on obtient donc à la dernière ligne:
     (Un-4)/[(Un+12)+4].

je ne sais par ou commencer pour la question 2)

Posté par
phyelec78re : suites récurrentes 13-10-22 à 19:02

pour la 2) il y a une division par \sqrt{U_n +12}+4.

idée : si on pend 2 et 4 on a 2 < 4 mais 1/2  > 1/4.

il faut  faire ce type de raisonnement avec \sqrt{U_n +12}+4

Posté par
carpediemre : suites récurrentes 13-10-22 à 19:08

salut

je ne vois aucune différence (et il n'y a pas) entre 2/ et 3/ et je suis pret à parier que 3/ est :

Citation :
3) Démontrer par récurrence que pour tout n    :   u_{n} - 4 = \dfrac {1}{8^n}(u_0 - 4)
qui est le grand classique ...

Posté par
phyelec78re : suites récurrentes 13-10-22 à 19:08

autre chose : \sqrt{a+b} \le \sqrt{a}+ \sqrt{b}

Posté par
phyelec78re : suites récurrentes 13-10-22 à 19:10

@carpediem, je partage votre analyse.

Posté par
oumy1re : suites récurrentes 13-10-22 à 19:29

Bonjour carpediem merci également de votre aide.
le 3) j'ai fait une erreur dans l'écriture:
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel , 0Un-4\frac{1}{8^n}.
je suis désolé.
phyelec78 je n'ai pas compris

Posté par
phyelec78re : suites récurrentes 13-10-22 à 21:55

il faut démontrer par récurrence que \sqrt{U_n+12} \ge 4

vous aurez donc  \sqrt{U_n+12} +4 \ge 8

et donc

\dfrc & {\sqrt{U_n+12} +4} \le \dfrac18

Posté par
phyelec78re : suites récurrentes 13-10-22 à 21:57

erratum latex

\dfrac {1}{\sqrt{U_n +12}+4} \le \dfrac18

Posté par
phyelec78re : suites récurrentes 13-10-22 à 22:04

autre indication :
cela revient à dire que Un+12 est toujours supérieur ou égal a 16 et donc que Un est toujours supérieur à 4

Posté par
carpediemre : suites récurrentes 14-10-22 à 09:23

c'est d'ailleurs étonnant que ce ne soit pas demandé dans la première question ...

Posté par
oumy1re : suites récurrentes 15-10-22 à 03:41

Bonsoir phyelec78 et carpediem
Merci beaucoup j'ai compris.


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