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Suites récurrentes d’ordre 2(NL)

Posté par AitOuglif 29-11-21 à 20:01

Bonsoir
J'essaie de montrer que la suite (u_n)définie par u_{n+2}=\sqrt{u_n+u_{n+1}+3} et u_0=0,u_1=1 est majorée et croissante(et donc qu'elle tend vers 3, mais ça, c'est facile).
J'ai essayé pas mal de trucs, mais sans résultat. Par exemple, j'ai supposé que u_n\to +\infty pour poser v_n=1/u_n pour n suffisamment grand et faire de l'analyse asymptotique. Rien.
J'ai aussi pensé à majorer la différence |u_{n+2}-u_{m+2}|, je trouve que c'est inférieur à (1/2\sqrt{3})(|u_{n}-u_{m}|+|u_{n+1}-u_{m+1}|).
Cette constante multiplicative est strictement inférieure à 1. Donc je me dis qu'on peut faire quelque chose. Mais télescoper avec une somme à droite, c'est pas pratique... Avez-vous une idée? J'ai essayé les premiers termes, je ne « vois rien » apparaître...

Posté par
bernardo314re : Suites récurrentes d’ordre 2(NL) 29-11-21 à 21:03

Bonjour,

Récurrence  suppose que les termes sont inférieurs à  3 ..c'est fini

Posté par AitOuglifre : Suites récurrentes d’ordre 2(NL) 29-11-21 à 21:05

Olala quelle honte!merci bernardo. Franchement, c'est humiliant )

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suites récurrentes d’ordre 2(NL) 29-11-21 à 21:08

Bonsoir,
Je ne sais pas si ça peut servir, mais on peut démontrer cette inégalité :
3 - un+2 (3-un)/4 + (3-un+1)/4

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suites récurrentes d’ordre 2(NL) 29-11-21 à 21:09

Je débarque un peu tard

Posté par AitOuglifre : Suites récurrentes d’ordre 2(NL) 29-11-21 à 21:11

Oui Sylvieg, j'ai déjà reçu la gifle hihihi.

Posté par
bernardo314re : Suites récurrentes d’ordre 2(NL) 29-11-21 à 21:20

ça nous arrive à tous

Posté par
DOMOREASuites récurrentes d’ordre 2(NL) 30-11-21 à 16:48

bonjour,
@bernardo314

Citation :
Récurrence  suppose que les termes sont inférieurs à  3 ..c'est fini

C'est fini! C'est facile à dire.
ok! on voit que pour tout n ,Un<3, mais il faut démontrer que (Un) est croissante et que sa limite est 3

Posté par AitOuglifre : Suites récurrentes d’ordre 2(NL) 30-11-21 à 17:18

Non ça va, pas trop compliqué. On montre en fait que 0\leq u_n \leq 3 pour tout n\in \N.
Je fixe ensuite b \in [0,3] et j'étudie la fonctiona\mapsto a+b+3-b^2 sur ce même intervalle. Elle atteint son max en 3 et vaut 6+b-b^2, qui est négatif pour b \in [0,3].

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suites récurrentes d’ordre 2(NL) 30-11-21 à 17:53

Citation :
6+b-b^2, qui est négatif pour b \in [0,3].
Heu... j'ai comme un doute

Posté par
carpediemre : Suites récurrentes d’ordre 2(NL) 30-11-21 à 18:00

salut

JFF ... même après la bataille ...

une fois qu'on a démontré que 0 \le u_n \le 3 alors :

u_{n + 3} - u_{n + 2} a même signe que u_{n + 3}^2 - u_{n + 2}^2 = (u_{n + 2} - u_{n + 1}) + (u_{n + 1} - u_n)

la propriété : P(n)  :  u_n \le u_{n + 1} \le u_{n + 2} est alors trivialement héréditaire ...

Posté par
DOMOREASuites récurrentes d’ordre 2(NL) 30-11-21 à 19:09

si on veut (un)croissant, il faut montrer que \frac{\sqrt{a+b+3}}{a}>1
donc a+b+3-a²>0

Posté par AitOuglifre : Suites récurrentes d’ordre 2(NL) 30-11-21 à 19:38

Ok carpediem, simple .
u_n est strictement positive à partir du rang 1, ok. Mais pourquoi, pour le pas de récurrence, l'étude du signe de u_{n+2}^2-u_{n+1}^2, donc celui de u_n+u_{n+1}+3-u_{n+1}^2 serait-elle ramenée à l'étude du signe de a+b+3-a^2 plutôt que a+b+3-b^2? Si la réponse est « parce que cela marche », je suis ok(mais je n'ai pas vérifié). Mais sinon je ne comprends pas ton « il faut ». u_n et u_{n+1} ne sont pas discernables dans l'expression u_n+u_{n+1}+3, donc on ne peut pas privilégier a priori un cas plutôt que l'autre.

Posté par
carpediemre : Suites récurrentes d’ordre 2(NL) 30-11-21 à 19:49

u_{n + 2} = f(u_n, u_{n + 1}) avec f(a, b) = a + b + 3

or f(a, b) = f(b, a)  donc je suis d'accord avec toi

f(a, b) - b^2 est la même chose que f(a, b) - a^2 ...

Posté par
Razesre : Suites récurrentes d’ordre 2(NL) 01-12-21 à 00:02

Bonsoir,

On peut procéder en utilisant une récurrence double:

En supposant: 0\leqslant u_n\leqslant 3 .

u_{n+2}=\sqrt{u_n+u_{n+1}+3}\Rightarrow u_{n+2}^{2}=u_n+u_{n+1}+3\Rightarrow u_{n+2}^{2}-9=(u_n-3)+(u_{n+1}-3) \\ \Rightarrow (u_{n+2}-3)(u_{n+2}+3)=(u_n-3)+(u_{n+1}-3)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suites récurrentes d’ordre 2(NL) 01-12-21 à 07:17

Bonjour Razes,
0\leqslant u_n\leqslant 3 est considéré comme démontré depuis un moment, car élémentaire.
On parle ensuite de la démonstration de (un) croissante.

Posté par
Razesre : Suites récurrentes d’ordre 2(NL) 01-12-21 à 07:59

Bonjour Sylvieg,

Désolé, mais la démonstration n'était pas explicite, c'est pour ca que j'ai posté mon message.

Pour démontrer que la suite est croissante, On procède par récurrence double comme proposé par carpediem à 30-11-21 à 18:00 et c'est fini.

On peut l'écrire autrement:
u_{n+3}-u_{n+2}=\sqrt{u_{n+1}+u_{n+2}+3}-\sqrt{u_n+u_{n+1}+3}=\dfrac{(u_{n+1}+u_{n+2}+3)-(u_n+u_{n+1}+3)}{\sqrt{u_{n+1}+u_{n+2}+3}+\sqrt{u_n+u_{n+1}+3}}\\ \\ =\dfrac{(u_{n+1}-u_n)+(u_{n+2}-u_{n+1})}{\sqrt{u_{n+1}+u_{n+2}+3}+\sqrt{u_n+u_{n+1}+3}}

Posté par
Razesre : Suites récurrentes d’ordre 2(NL) 01-12-21 à 08:07

Ou plus simplement comme l'a proposé carpediem:
u_{n + 3}^2 - u_{n + 2}^2 = (u_{n + 2} - u_{n + 1}) + (u_{n + 1} - u_n)\Leftrightarrow \\ u_{n + 3} - u_{n + 2} = \dfrac{1}{(u_{n + 3}+u_{n + 2})}\left ((u_{n + 2} - u_{n + 1}) + (u_{n + 1} - u_n)  \right )

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suites récurrentes d’ordre 2(NL) 01-12-21 à 08:28

En fait, si on utilise la croissance de la fonction racine carrée, les quantités conjuguées, ou autres subtilités, ne sont pas nécessaires :
Si 0 a 3 et 0 b 3
alors 0 a+b+3 9
donc 0 (a+b+3) 3.

Idem pour la croissance de la suite :
Si a' a et b' b
alors a'+b'+3 a+b+3
donc (a'+b'+3) (a+b+3).

Posté par
DOMOREASuites récurrentes d’ordre 2(NL) 01-12-21 à 10:44

bonjour,
(Un) croissante, majorée par 3.
reste à démontrer que la limite est 3 avec l²=2l+3

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Suites récurrentes d’ordre 2(NL) 01-12-21 à 11:21

Dans le premier message de AitOuglif :

Citation :
et donc qu'elle tend vers 3, mais ça, c'est facile

Posté par
carpediemre : Suites récurrentes d’ordre 2(NL) 01-12-21 à 15:20

je n'utilise rien de plus que ce qu'utilise Sylvieg (éventuellement formulée différemment (en terme de termes d'une suite)) mais il faut cependant bien faire une récurrence pour (dire que) "transmettre au suivant" !!

il est clair qu'une fois que c'est fait pour deux termes consécutifs ou deux lettres a et b pour lesquels il n'y a aucune différence autre que les lettres utilisées alors il y a donc hérédité ...

la seule difficulté est de bien écrire quelle est la propriété héréditaire ...


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