Bonjour et bienvenue sur l'île
Je ne sais pas quelle méthode t'est enseignée pour trouver une solution particulière.
J'ai l'impression qu'on cherche une solution constante.
Notée a ou A.
Le pourquoi du t-1 plutôt que t+1 m'échappe aussi.

Oui effectivement ici on cherche une solution particulière constante, voici la correction d'une autre personne de ma promo où il est expliqué que U_t et U_t+1 sont des constantes k, mais j'ai vraiment du mal à comprendre le logique :

La logique serait donc :
Vu que U_t=U₀4^t, où U₀ est une constante k, alors U_t et U_t+1 sont des constantes k également ?

Seulement U est géométrique de raison 4 donc, U_t+1>U_t non?
Ainsi pour moi si U_t=kU_t+1

Je suis perdue …😬

Si u est une suite qui vérifie la relation de récurrence pour tout n avec (sinon c'est trivial), alors la suite définie par est telle que . Donc elle est géométrique de raison a, i.e pour tout n.
On en déduit que pour tout n.

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Pour en revenir à ton exercice, je pense qu'ils voulaient te faire écrire que A = 4a + 3 et chercher une solution particulière constante. Dans ce cas, on aura bien A = a et la solution constante est unique et c'est bien -1.
Si j'applique ma petite formule ci-dessus avec b = 3 et a = 4, j'obtiens b/(1-a)  = -1 et ça correspond bien au terme constant que tu trouves comme solution particulière. Ce qui correspond à ton k est chez moi et effectivement, si tu appliques ton résultat pour n = 0, tu as bien

J'ai l'impression que tu mélanges deux choses :
1) La recherche des solutions de l'équation dite homogène.
2) La recherche d'une solution de l'équation complète.

Au 1), on trouve les suites géométriques de rapport 4.
Remarque :
Ces suite ne vérifient pas l'équation complète.

Au 2), on cherche et on trouve une solution constante pour l'équation complète.

Au 3), on mélange les deux.

PS Attention, les scan de manuscrit sont à utiliser avec parcimonie.

Bonjour Ulmiere,
Merci de patienter un peu avant d'intervenir quand il y a déjà un aidant dans le sujet.

Rebonjour Sylvieg , j'ai bel et bien compris la différence entre la solution de l'équation homogène et celle de l'équation complète. C'est la méthodologie pour trouver la solution particulière constante.
Je prend note également pour les scan manuscrit, je privilégierai la recopie.

Effectivement, Ulmiere, en reprenant le raisonnement que tu m'as donné, j'y ai compris un lien avec l'exercice que j'ai fait juste avant sur les suites arithmético-géométrique, ne voulant pas recopier noir sur blanc le raisonnement que tu m'as envoyé, j'ai essayé de rédigé ce qui me semblait clair et censé a partir de mon cours et des exercices précédents. Voilà ce que cela donne :

2- Solution particulière de l'équation complète :

(E) : U_t+1-4U_t = 3
U_t+1=U_t+3
RMQ : U est une suite arithmético-géometrique

- On cherche A tel que 4U_t+3=A

- Soit la suite Pt définie par :
Pt = U_t+A
P_t+1= U_t+1+A
P_t+1=4U_t+3+A
P_t+1=4(Ut + (3+A)/4)

- On résout (3+A)/4 = A (pour obtenir P_t+1   = 4P_t : une suite géométrique)

(3+A)/4 = A
3+A = 4A A=1

Ainsi :
P_t+1= 4(Ut + (3+1)/4) = 4 (Ut+1) = 4Pt

P est une suite géométrique de raison 4 : Pt = k4^t, avec k une constante réelle quelquonque

Ainsi :
Pt = Ut + 1 = k4^t
Ut = Pt -1
Ut=k4^t-1

Où -1 = U^p une solution particulière constante de (E).

3- Solution générale de (E) sera de la forme :

U^h+U^pk4^t-1
-

Voilà ma démarche.
J'ai bel et bien l'impression d'avoir fait toute la démonstration pour trouver la solution générale de l'équation complète, en trouvant A = 1, et non pas A=-1 la solution particulière, je tombe toute suite sur l'équation de la solution finale sans vraiment expliquer pourquoi -1 est solution particulière constante.

Est-ce notamment suffisamment claire comme démarche par rapport à la question de l'énoncé qui était :
Déterminer les solutions des équations récurrentes linéaires suivantes : U_t+1-4Ut = 3 (solution particulière constante)   ?

Je porte beaucoup d'importance à la rédaction et a la clarté de mes corrections de TD, car je suis employée d'un programme de l'université qui prend les notes et les corrections des cours pour les élèves en difficulté (handicap ou autres) donc la clarté et les détails sont très important pour mes notes ! Bien que moi, j'ai compris la démarche, j'aimerai si nécessaire, que vous puissiez me dire si la rédaction est claire, où si je puis formuler ça d'une autre manière.
Merci de m'avoir lue à nouveau, bonne journée !

Par exemple, (l'idée vient de me traverser l'esprit), pourrait-on justifier ainsi :

On cherche une solution particulière constante de (E), c'est à dire, on cherche à résoudre :

U^p=4U^p+3
U^p-4U^p = 3
U^p= -1

Où U^p est une solution particulière constante de (E).

Cela correspondrait avec la définition d'une solution particulière constante ? (mon cours sur les suites récurrentes linéaires ne définit que le principe d'équation homogène, et le théormème d'additivité des solutions, sans expliquer la méthode de résolution, et la « définition » d'une solution constante, même si c'est assez explicite).

Puis-je utiliser « uniquement » ça comme « justification », et utiliser le théorème d'additivité des solutions pour le 3? Si oui, la rédaction et la clarté sont-elles correctes dans ce cas ?

Cela se rapproche plus de la correction de base que j'ai prise en TD, et donc, qui correspondraient aux attentes de mon professeur, qui je pense, n'attend pas de démonstration détaillée pour ce genre de question.

Merci d'avance et désolé pour les multi-messages car ce raisonnement m'est venu après.

salut

en attendant le retour des autres intervenants ...

tout d'abord il est étonnant d'utiliser la lettre t pour l'indice qui est un entier.
usuellement on utilise plutôt généralement la lettre n et quelques variations : m, i, j, k ...

enfin dans les notations bien distinguer exposant et indice

pour le fond : si tu as vu (la théorie) des suites arithmético-géométriques alors on cherche une solution particulière sous la forme d'une suite constante

donc pour tout n :

posons c cette constante donc pour tout n :

alors

et on en déduit alors que

et on en déduit alors que la suite vérifie la relation

donc la suite (v_n) est géométrique de raison 4

et pour tout n :   donc  

Autre méthode rigolotte : écrire la relation de récurrence sous la forme .

Si on appelle A la matrice qui apparait là, cela équivaut à dire que . Tu peux ensuite t'amuser à diagonaliser A dans le cas où . C'est possible car ses valeurs propres sont clairement a et 1 donc le polynôme caractéristique est scidé simple et .

Donc .

Puis .

Et ça peut se généraliser à des récurrences d'ordre m, en travaillant avec des vecteurs de et des matrices de