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Suites terminale
Bonjour,
Je ne parviens pas à faire cette question.
Pourriez-m'aider s'il vous plaît ?
1. a. Calculer les premiers termes de la suite (u,,) définie pour tout entier naturel n par u,, = n³ - n. On pourra n utiliser une calculatrice.
C'est fait.À l'aide de la calculatrice, j'ai trouvé n0=0,n1=0,n2=6,n3=24,n4=60,n5=120...
b. De quel entier, autre que 1, le nombre entier un semble-t-il être multiple?
Le problème c'est qu'il me semble que Un est le multiple de 2 ,3 et 6.Mais la question me demande un entier pas 3.
Je pense que si je trouve la solution de cette question,je peux continuer.
c. Démontrer cette conjecture pour tout entier naturel n en utilisant un raisonnement par récurrence.
2. a. On a trouvé, à l'aide d'un logiciel de calcul formel, le résultat suivant.
Développer ((n + 1)5) ((n+1)5)
n5+5 n+10 n³ + 10 n²+5n+1
Démontrer que, pour tout entier naturel n : (n+1)(n+1)=n5-n+5(n+ + 2n³ +2n²+n).
b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, n5 - n est un multiple de 5. -
Pouvez-vous écrire correctement
Développer ((n + 1)5) ((n+1)5)
Utilisez les indices ou les exposants.
Ah oui pardon.
2. a. On a trouvé, à l'aide d'un logiciel de calcul formel, le résultat suivant.
Développer (n+5)5
n5+5n4+10 n³ + 10 n²+5n+1
Démontrer que, pour tout entier naturel n : (n+1)5 -(n+1)=n5-n+5(n4+ 2n³ +2n²+n)
b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, n5 - n est un multiple de 5.
Bonjour
Si c'est un multiple de 6, il l'est aussi de 2 et de 3.
Alors je dois dire que Un est multiple de 2,3 et 6 ?
Quand je fais la démonstration à la question suivante,je dois démontrer que Un est multiple de 6?
Si vous dites que c'est un multiple de 6, vous dites par la même occasion que c'est un multiple de 2 et de 3.
De quel entier, autre que 1, le nombre entier
Oui ça devrait être 1 . Merci.
Alors j'ecris tout ce que j'ai pu faire.
1- U0=0, U1=0, U2=6, U3=24, U4=60, U5=120
2- Un semble être le multiple de 6.
3-İnitialisation pour n=0,
U0=0³-0=0
0 est un multiple de 6, 6×0=0
Donc P0 est vraie.
Hérédité
On suppose qu'il existe un entier naturel k ,tel que Pk est vraie, c'est-à-dire Uk=k³ - k est un multiple de 6.On montre que Pk+1 est vraie, c'est-à-dire Uk+1=(k+1)³-(k+1) est un multiple de 6.
Uk+1=k³+3k²+3k+1-k-1
=k³+3k²+2k
Je suis bloquée ici ,je sais que je dois utiliser l'hypothèse de récurrence mais je ne sais pas comment faire.
On doit montrer que c'est un multiple de 6
on développe
Erreur de simplifier ! hypothèse de récurrence est un multiple de 6.
Il reste donc à montrer que est un multiple de 6.
On peut déjà mettre 3 en facteur, que pouvez-vous dire de ce qui reste ?
k(k+1) est un nombre paire alors il est divisible par 2.
Donc 3k²+3k est multiple de 3×2 donc il est multiple de 6.
Oui k(k+1) étant deux entiers consécutifs, c'est donc un nombre pair soit un multiple de 2.
Conclusion ?
Donc Uk+1 est multiple de 6 .
Conclusion
La propriété est initialisée et héréditaire.Pour tout entier naturel n,Un=n³-n est multiple de 6.
Pour la question 2 a
(n+1)⁵-(n+1)
=n⁵+5n⁴+10n³+10n²+5n+1-n-1
=n⁵-n+5n⁴+10n³+10n²+5n
=n⁵-n+5(n⁴+2n³+2n²+n)
b) İnitialisation pour n=0
0⁵-0=0
0 est un multiple de 5 alors P0 est vraie.
Hérédité
On suppose qu'il existe un entier naturel je tel que Pk est vraie, c'est-à-dire k⁵-k est multiple de 5.On montre que Pk+1 est vraie, c'est-à-dire
(k+1)⁵-(k+1) est multiple de 5.
(k+1)⁵-(k+1)=k⁵+5k⁴+10k³+10k²+5k-k-1
=k⁵-k+5(k⁴+2k³+2k²+k)
Par l'hypothèse de récurrence,k⁵-k est multiple de 5 et 5(k⁴+2k³+2k²+k) aussi.
Donc Pk+1 est vraie.
Conclusion
La propriété est initialisée et héréditaire, pour tout entier naturel n ,n⁵-n est multiple de 5.
C'est bon?
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