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Suites TS
Bonsoir à tous, âmes charitables qui viennent en aide aux matheux nécessiteux d'aide,voici mon exercice:
Une suite (Un) définie pour tout N par u0=1, un+1= un/ 2+Un^2
a/ Montrer que,quel que soit n, Un>0 pour cette question je suis partie de Un+1>0 en utilisant l'hypothèse Un> o, mais j'ai la sensation de ne rien avoir prouver, si vous pouvez me dire comment vous vous y prendriez ça serait gentil.
b/ Montrer que pour tout n, un+1 < Un/2, j'ai réussi cette question en étudiant le signe de leur différence en revanche une autre question en découle, je la cite: En déduire l'inégalité Un< U0/2^n, seuleument je suis bloquée à ce niveau là, ça devrait pourtant être simple mais ce 2^n me bloque.
c/ Montrer que (Un) coverge et déterminer sa limite, j'avoue ne pas avoir tellement réfléchi à cette question, mais si vous le voulez bien donnez moi vos pistes ou idées.
Pour information, cet ex se touve à la page 156 ex n°87 du livre de Terminale S, collection indice de Bordas
Merci à tous par avance
Bonne soirée.
Bonjour,
1) En gros c'est cela mais il poser un raisonnement par récurrence.
2)
u(n) < u(n-1) / 2
or u(n-1) < u(n-2) / 2 donc u(n) < u(n-2) / n²
Et de proche en proche, tu vas y arriver.
Maintenant pour rendre rigoureux ce "proche en proche", tu peux faire un raisonnement par récurrence.
Merci beaucoup, mais j'aimerai avoir plus de précisions sur certains points: Comment avez vous obtenu u(n-1) < u(n-2) / 2 donc u(n) < u(n-2) / n² et plus précisément le n^2, d'autre part qu'appelez vous le "proche en proche"?
pour la 3/ (Un) convergerait- elle vers 0 puisque (1/2/^n?
Je vous remercie encore.
Merci beaucoup, mais j'aimerai avoir plus de précisions sur certains points: Comment avez vous obtenu u(n-1) < u(n-2) / 2 donc u(n) < u(n-2) / n² et plus précisément le n^2, d'autre part qu'appelez vous le "proche en proche"?
pour la 3/ (Un) convergerait- elle vers 0 puisque (1/2/^n?
Je vous remercie encore.
Merci beaucoup, mais j'aimerai avoir plus de précisions sur certains points: Comment avez vous obtenu u(n-1) < u(n-2) / 2 donc u(n) < u(n-2) / n² et plus précisément le n^2, d'autre part qu'appelez vous le "proche en proche"?
pour la 3/ (Un) convergerait- elle vers 0 puisque (1/2/^n?
Je vous remercie encore.
Dsl je viens de me rendre compte que je dis une erreur concernant la convergence, c'est impossible qu'elle converge vers 0 non? Merci encore.
On a montré que
pour tout n u(n+1) < u(n) / 2
le nom de la lettre n'a pas une grosse importance, on aurait pu écrire
u(i+1) < u(i) / 2
en l'appliquant à i = n on obtient
u(n) < u(n-1) / 2 (*)
en l'appliquant à i = n-1 on obtient
u(n-1) < u(n-2) / 2 (*)
en l'appliquant à i = n-2 on obtient
u(n-2) < u(n-3) / 2 (**)
et ainsi de suite ... jusqu'à u(1) < u(0) / 2
de "proche en proche"
On part de u(n) < u(n-1) / 2
mais en multipliant chaque membre de (*) par 1/2 on obtient:
u(n-1) / 2 < u(n-2) / 4
d'où u(n) < u(n-1) / 2 < u(n-2) / 4
en multipliant (**) par 1/4 on obtient:
u(n-2) / 4 < u(n-3) / 8 (**)
donc u(n) < u(n-3) / 2^3
et ainsi de suite ...
Car on a dit 0< Un< U0/2 dc la convergence de (Un) est différente de 0 non?
Merci encore.
Ah ok ... c'est une erreur classque.
La limite est bien 0. car au passage à la limite on perd les inégalité strictes.
Je vais prendre un exemple pour te faire réfléchir. Je considère la suite:
0,3
0,33
0,333
0,3333
0,33333
...
Aucun des termes ne vaut exactement 1/3 mais la limite est le nombre 0,3333333 ... (une infinité cette fois)
c'est à dire 1/3
Je vous remercie beaucoup, c'est trés gentil à vous de m'avoir aider, je vais encore cogiter tout ça, et si problème il y a je reposterai demain une question..
Encore merci, Bonne nuit.
Bonjour, c'est encore moi, j'ai repris toutes vos informations ce matin et je bloque toujours pour ce fameux "en déduire" l'inégalité Un < u0/2^n, je tente un raisonnement par récurrence mais déja pour déterminer si la propriété est vraie au rang0 je n'aboutis à rien, aidez moi quant aux suppositions et démonstrations que je dois faire svp
D'autre part, comment prouve-t-on qu'une suite converge?
Encore désolée de vous déranger mais j'ai l'impression de tourner en rond..
Merci d'avance.
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