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suites TS
Pourriez vous m'aider pour cet exercice ?
Pour tout n € N, on pose: Un=1+(1/1!)+(1/2!)+...+(1/n!)
Le premier terme I peut aussi s'écrire 1/0! donc Un est la somme des inverses des factorielles de tous les entiers naturels inférieurs à n.
1.Démontrer que, pour tout n > 2 2^n< 2 n!. En déduire la convergence de la suite (Un).
2.On pose Vn=Un+(1/nn !). Démontrer que les suites (Un) pour n>1 et (Vn)
sont adjacentes. Quel est l'interet de la suite (Vn)
3.Comparer U10 et V10 . En déduire une approximation de la limite commune e des deux suites.
Bonjour
Des indications
Question 1 Par récurrence sur n
pour n= 3: facile
hérédité
Hypothèse: 2n< 2 n!
Conclusion: 2n+1< 2 (n+1)!
remarques:
2n+1 = 2 2n
(n+1)! = (n+1) n!
par hypothèse de récurrence: 2n< 2 n!
comme n > 2 : 2 < n+1
en multipliant membre à membre (tous les membres sont positifs)
2n+1< 2 n!
Convergence de Un
Pour tout n > 2, 2n< 2 n!
et comme la fonction inverse est décroissante sur ]0; +infini[
tu prouve que un est croissante
je te laisse voir la convergence en majorant à l'aide de la somme d'une suite géométrique.
Question 2: suites adjacentes
Un croissante
Un < Vn
Tu calcules Vn+1 - Vn et tu devrais trouver donc Vn décroissante
vn - un tend vers 0
Question 2: intérêt
1) Vn donne une majoration de e tandis que Un donne une minoration d'où un encadrement.
2) e est un nombre irrationnel. Démontrons le par "l'absurde"
Si e était rationnel,
il existerait deux entiers a et b el que e = a/b (on peut supposer b positif)
Un < a/b < Vn
b Un < a < b Vn
0 < a-bUn < b (Un-Vn)
remarquons que est un entier donc
est un entier
de plus pour n assez grand
est inférieur à 1
ainsi on aurait trouvé un entier tel que:
c'est impossible
donc e est un nombre irrationnel !
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