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Sujet ATS 2004

Posté par
benisfree 29-03-08 à 17:16

Bonjour,
ceci est le sujet du concours de math d'ATS 2004.
Soient a,b,c trois nombres complexes.
On note I la matrice identité,

J=\(0\1\0\\0\0\1\\1\0\0)\
J=[0,1,0;0,0,1;1,0,0]
M(a,b,c)=[a,b,c;c,a,b;b,c,a]              (notation TI)

Déterminer les valeurs propres de J.
La matrice J est elle diagonalisable sur ? L'est elle sur le corps ?

Je trouve le polynôme caractéristique tel que
Pj(X)= 1-X3
Donc la valeur propre dans est 1.
Mais dans je ne suis pas sur de moi je dirais (1,j,j2)
Ou j=ei2/3
Merci de me confirmer le septre de J dans

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 17:19

Salut !

oui c'est bien ça le spectre de J

Posté par
Camélia Correcteurre : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 17:19

Bonjour

C'est correct.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 17:21

Oui c'est bien ça!
Comment conclus-tu sur R, puis sur C?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 17:22

Salut Camélia!

Posté par
Camélia Correcteurre : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 17:26

Bonjour Tigweg

Posté par
benisfreere : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 18:27

L'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 3.
Le sous espace associé à la valeur propre 1 est de dimension 1.
La matrice n'est pas diagonalisable sur .

Posté par
Camélia Correcteurre : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 18:28

Bien!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 18:30

L'ensemble des solutions de quoi?

Posté par
benisfreere : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 18:37

Euh oui j'ai rédigé la réponse selon un exercice de système différentiel.
Le sous espace associé à la valeur propre 1 est de dimension 1.
Or J est de dimension 3.
La matrice n'est pas diagonalisable sur .

Posté par
Tigweg Correcteurre : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 18:43

Citation :
Or J est de dimension 3.


->On dit plutôt de format (3;3)

OK!

Et sur C, je suis convaincu que tu as également la réponse!

Posté par
benisfreere : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 18:48

Question 3:
Pour chaque valeur propres de J déterminer le vecteur propre associé ayant 1 pour première composante, et une matrice P de passage à une base de vecteurs propres.

Sur
V(1) est de dimension 1, de base U=(1,1,1)
V(j) est de dimension 1, de base V=(0,0,0)
V(j2) est de dimension 1, de base W=(0,0,0)

P=\(1\0\0\\1\0\0\\1\0\0\)

Voila ce que je répondrais.
Cependant, je ne comprend pas pourquoi il précise dans la question "déterminer le vecteur propre associé ayant 1 pour première composante"
Je ne comprend pas ce qu'ils veulent dire pas ayant 1 pour 1er coordonnée.

Posté par
soucoure : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 19:00

Tiens, j'avais cette matrice (dite de Froebinus, arf je m'en rappelle !) à un DS d'y a pas très longtemps... Je crois que c'était le CCP 2004 ! Même année... Bizarre tu es certain que c'est un ATS ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 19:01

Pour V(1) c'est juste ...

Un vecteur propre n'est jamais nul !!!

résous: JX=jX et JX=j²X avec X vecteur colonne

Posté par
benisfreere : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 19:05

Oui ce sujet est le concours ATS 2004 disponible au téléchargement sur .
Si d'ailleurs vous savez ou je peux trouver des sujets corrigés cela m'intéresse.
Merci

Posté par
soucoure : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 19:12

Le genre d'exo que je me passerai volontier . Je vais sur c'est assez complet mais peut être pas pour l'ATS je connais pas le niveau de l'ATS je pense que tu peux zieuter les CCP de TSI.

Posté par
benisfreere : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 19:18

Arf je n'arrive absolument pas à trouver pour j le vecteur propres associé.
Lorsque je fait Ker(f-jI3) je tombe sur un système qui me donne x=y=z=0 soit un vecteur propre nul!

Posté par
soucoure : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 19:21

Il faut sans doute exploiter le fait que j^2=-1-j.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 19:25

Citation :
Lorsque je fait Ker(f-jI3) je tombe sur un système qui me donne x=y=z=0 soit un vecteur propre nul!


Comme je t'ai dit, la définition même d'un vecteur propre impose qu'il soit non nul !

Soit \Large X=\(x\\y\\z\)

\Large JX=jX \Right \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}\(x\\y\\z\)=\(jx\\jy\\jz\)\Right\(y-jx\\z-jy\\x-jz\)=\(0\\0\\0\)\\\Right y=jx \; z=jy=j^2x

donc: \Large X=\(x\\jx\\j^2x\)=x\(1\\j\\j^2\)

Posté par
benisfreere : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 19:37

Merci beaucoup! Je n'avais encore jamais utiliser un tel moyen pour résoudre.


Posté par
benisfreere : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 19:43

Si je ne me trompe pas,
Pour j2, on trouve

X=(x,j2x,jx)=x(1,j2,j)

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 20:13

non, c'est pas ça !

y=j²x , z=j²y=j^4x=jx donc X=x(1,j²,j)

Posté par
benisfreere : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 20:13

P=\(1\1\1\\1\j\j^2\\1\j^2\j\)\

Question 4
Exprimer la matrice M(a,b,c) à l'aide des matrices I,J et J2.
En déduire H={M(a,b,c)|(a,b,c)3}
est un sous espace vectoriel pour les lois usuelles.
Précisez la dimension de H.


Pour cette question je suis totalement perdue!!!!!
Je ne vois absolument pas comment partir.

Posté par
benisfreere : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 20:16

Citation :
non, c'est pas ça !

y=j²x , z=j²y=j^4x=jx donc X=x(1,j²,j)


C'est pourtant ce que j'ai trouvé!?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 20:18

calcule J²

sépare a , b et c dans ta matrice

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 20:18

ah oui désolé j'avais pas bien vu

Posté par
benisfreere : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 20:30

M(a,b,c)=I+J+J2

En effet on peut s'apercevoir de cela avec la position des éléments a,b,c (selon moi).
Bon ben je vais faire la suite merci beaucoup de votre aide.
Je risque cependant de resolliciter votre aide mais pour le reste on verra ça demain.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Sujet ATS 2004 29-03-08 à 20:31

Ok

C'est un plaisir


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