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Niveau maths spé
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Sujet B Agro/Veto

Posté par
apex0815
28-10-14 à 15:27

B. Les schémas d'Euler

https://www.concours-agro-veto.net/IMG/pdf_Epreuve_B_Equadifs.pdf
(Extrait du sujet 0 Agro Veto 2014)

(1) d2/dt2=-w2x

(E) dx/dt=wy
    dy/dt=-wx

Pour tout t appartenant à [0,+infini[ dx/dt=wy(t)
                                      dy/dt=-wx(t)

B.1. Préliminaire : quelques propriétés théoriques

1. Équivalence de (1) et (E). Justifier le fait que les équations (1) et (E) sont équivalentes au sens suivant :
B pour toute solution t → x(t) de l'équation (1) il existe une unique fonction t → y(t) telle que
(x, y) soit solution de (E),
B et pour toute solution (x, y) de (E), la fonction t → x(t) est solution de (1).

2. Résolution explicite.
Soit une solution t → x(t) de l'équation (1). Donner l'expression générale de x(t) en fonction de t et
des valeurs initiales x(0) et x'(0)=dx/dt

3. Énergie.
Pour tout u et v dans R, on pose E(u, v) = u^2+v^2

(a) Soit (x, y) une solution de (E).
Montrer que l'application t −→ E (x(t), y(t)) définie sur [0,+∞[ est constante.
(b) Soit a > 0. On nomme Ca la courbe plane d'équation E(x, y) = a^2 dans le plan muni d'un repère
orthonormé, l'axe des x étant l'axe des abscisses et l'axe des y étant l'axe des ordonnées. Quelle
est la nature de cette courbe ?

(c) On considère maintenant une solution (x, y) de l'équation (E). D'après ce qui précède, le point
M(t) du plan de coordonnées (x(t), y(t)) parcourt une courbe Ca. Préciser la valeur de a en
fonction des valeurs initiales x(0) et y(0). Dans quel sens le point M(t) « tourne-t-il » sur la courbe
Ca ?



Pour la 1. je trouve l'expression de x(t) avec la résolution de l'équation différentielle, mais je ne comprends pas le lien que l'on doit faire pour trouver y(t). En faite j'ai du mal a voir ce que représente E et ça me bloque pour toute la suite ou presque.
La 2, c'est bon c'est la suite de la résolution de l'équadiff avec les CI
Pour la 3, il y a toujours ce problème avec E...


Merci beaucoup d'avoir pris le temps de regarder ce topic

Posté par
Lilstatch
re : Sujet B Agro/Veto 28-10-14 à 18:38

Salut !
Procédons par étape, la 1. d'abord.
Pas besoin de résoudre l'équation explicitement, le tout c'est de cerner le problème. (E) est un système différentiel, c'est à dire qu'on cherche les couples de fonctions solutions.
Donc commençons en suivant les indications :
--> Si x est une solution de (1), comment construire y telle que (x,y) soit solution de (E) ? (Elle t'est fortement soufflée par l'énoncé...)
--> Si (x,y) est solution de (E), calculons x"(t) pour t>0, que vient-il ?

Posté par
apex0815
re : Sujet B Agro/Veto 28-10-14 à 23:36

Salut !
Tout d'abord, Merci de d'être penché sur cet exercice.

J'ai essayé de faire avec tes indications, mais ça reste encore assez flou pour moi.  Mais alors si il n'y a pas forcément besoin de résoudre l'équadiff pour trouver x(t), on dit que x(t)= wyt et y(t)=-wxt d'après (E)?
Et pour calculer x"(t) je dérive plus x=Acos(wt)+Bsin(wt)alors ? Mais on partirai de quoi alors ? x'=wy ce qui nous ferai x"=0 ?

Je crois a que j'ai un peu du mal à cerner le problème et à voir comment toutes ces formules sont reliées entre elles et ou on veut en venir...

Posté par
Lilstatch
re : Sujet B Agro/Veto 28-10-14 à 23:47

Oui je crois que tu as un peu de mal à cerner le problème, en gros pour la première partie on veut montrer qu'en partant de x solution de (1), il existe y qui va être solution avec x de (E) :
Si x est solution de (1), alors x"(t) = -w^2*x(t). On pose y(t)=(1/w)*x'(t), on trouve alors y'(t) = (1/w)*x"(t) = (1/w)*-w^2x(t) PUISQUE x est solution de (E) ! Ainsi ce y vient compléter x en un couple solution de (E). Tu comprends ?

Posté par
apex0815
re : Sujet B Agro/Veto 29-10-14 à 00:15

Avec cette petite mise clair, oui je comprends déjà mieux. On dit que y et x forment un couple de solution car on exprime y en fonction de x sachant que x est solution de (1). Et on obtient y'(t) en fonction de x"(t) qui nous permet de montrer que y(t) est aussi solution de E ?

Et après du coup, on dérive x", ce qui nous donne x"=wy'=w*(-w)x=w²x qui est bien solution de 1 donc on a montré que pour tout (x,y) de E x(t) était solution de (1) c'est ça ?

Posté par
Lilstatch
re : Sujet B Agro/Veto 29-10-14 à 00:39

On dit que x et y sont un couple de solutions car ils vérifient les équations du système, ne pense pas que c'est parce qu'ils sont liés ! Et c'est bien ça pour la deuxième partie

Posté par
apex0815
re : Sujet B Agro/Veto 29-10-14 à 11:45

Merci !

Pour la 2, la aussi je ne dois pas passer par la résolution de l'équadiff je suppose ?
On nous dit que x'(0) =wy(0) donc en deduit que y(0)=y'(0) ? Mais si on remplace dans x(t) je tourne en rond et retombe toujours sur l'expression de départ...

Pour la 3.a) je pensais montrer que x(t) et y(t) étaient constantes ? Ça marche pour y(t); y(t)=1/wx'(t)=y(t) mais pour x, j'ai x'(t) constante et donc x ne l'est pas.

Posté par
Lilstatch
re : Sujet B Agro/Veto 29-10-14 à 13:44

Salut !
Pour la 2) il faut résoudre explicitement, comme tu as l'habitude faire pour ce genre d'équations !

Posté par
apex0815
re : Sujet B Agro/Veto 29-10-14 à 20:11

Ok, donc ça C'est bon merci

Et pour la 3 ? C'est comme ça qu'il faut partir ?

Posté par
Lilstatch
re : Sujet B Agro/Veto 30-10-14 à 13:53

Je ne comprends pas ce que tu as fait pour la 3), les applications x et y ne sont en aucun cas constantes...
Pour montrer qu'une fonction de deux variables est constante, on la dérive par rapport à chacune de ses variables...

Posté par
Lilstatch
re : Sujet B Agro/Veto 30-10-14 à 13:55

Au temps pour moi je corrige, c'est une fonction d'une variable donc rien de compliqué pour la dériver...

Posté par
apex0815
re : Sujet B Agro/Veto 31-10-14 à 22:46

Oui en fait, c'est facile, je me suis embrouillée !

Merci beaucoup pour ton aide en tout cas



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