B. Les schémas d'Euler
https://www.concours-agro-veto.net/IMG/pdf_Epreuve_B_Equadifs.pdf
(Extrait du sujet 0 Agro Veto 2014)
(1) d2/dt2=-w2x
(E) dx/dt=wy
dy/dt=-wx
Pour tout t appartenant à [0,+infini[ dx/dt=wy(t)
dy/dt=-wx(t)
B.1. Préliminaire : quelques propriétés théoriques
1. Équivalence de (1) et (E). Justifier le fait que les équations (1) et (E) sont équivalentes au sens suivant :
B pour toute solution t → x(t) de l'équation (1) il existe une unique fonction t → y(t) telle que
(x, y) soit solution de (E),
B et pour toute solution (x, y) de (E), la fonction t → x(t) est solution de (1).
2. Résolution explicite.
Soit une solution t → x(t) de l'équation (1). Donner l'expression générale de x(t) en fonction de t et
des valeurs initiales x(0) et x'(0)=dx/dt
3. Énergie.
Pour tout u et v dans R, on pose E(u, v) = u^2+v^2
(a) Soit (x, y) une solution de (E).
Montrer que l'application t −→ E (x(t), y(t)) définie sur [0,+∞[ est constante.
(b) Soit a > 0. On nomme Ca la courbe plane d'équation E(x, y) = a^2 dans le plan muni d'un repère
orthonormé, l'axe des x étant l'axe des abscisses et l'axe des y étant l'axe des ordonnées. Quelle
est la nature de cette courbe ?
(c) On considère maintenant une solution (x, y) de l'équation (E). D'après ce qui précède, le point
M(t) du plan de coordonnées (x(t), y(t)) parcourt une courbe Ca. Préciser la valeur de a en
fonction des valeurs initiales x(0) et y(0). Dans quel sens le point M(t) « tourne-t-il » sur la courbe
Ca ?
Pour la 1. je trouve l'expression de x(t) avec la résolution de l'équation différentielle, mais je ne comprends pas le lien que l'on doit faire pour trouver y(t). En faite j'ai du mal a voir ce que représente E et ça me bloque pour toute la suite ou presque.
La 2, c'est bon c'est la suite de la résolution de l'équadiff avec les CI
Pour la 3, il y a toujours ce problème avec E...
Merci beaucoup d'avoir pris le temps de regarder ce topic