Bonjour ;

Pas de scans de sujets , tu dois le recopier , conformément aux règles du forum : Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci

Soit p un nombre premier donné. On se propose d'étudier l'existence de couple (x;y) d'entiers naturels >0 vérifiant l'équation :
(E) : x^2+y^2=p^2

1) On pose p=2. Montrer que l'équation (E) est sans solution.
-->x^2+y^2=4 pour avoir une solution on a les couples (2;0) et (0;2) mais ils n'esistent pas car x et y >0.
(1;1) pas possible et (2;2) pas possible aussi. Donc aucune solution.

2)Le but de cette question est de prouver que x et y sont premiers entre eux:

a) Montrer que x et y sont de parités différentes :
-->je ferais un raisonnement par contraposée et disjonction : Si x et y pair alors p est pair (facile à démontrer) et donc comme p est premier cela pose problème.
x impair et y impair, ça donne p pair donc impossible.

b) Montrer que x et y ne sont pas divisible par p :
--> Je ne vois pas comment faire

c) En déduire que x et y sont premiers entre eux
--> Déja x et y ne sont pas divisibles par un nombre premier (p différent de x et y) donc cela suggère que x et y sont eux même premier. Après pour démontrer qu'ils ont premiers entre eux je ne vois pas ??

3) On suppose que p est une some de deux carrés non nuls, c'est à dire : p^2=u^2+v^2 où u et v sont deuc entiers naturels strictement positif

a) Vérifier que le couple (valeure absolue{u^2-v^2}; 2uv) est solution de E.
--> Je ne vois pas comment remplacer le couple dans l'équation. <j'arrive à montrer que p=(u+v)^2-2uv est ce utile ?

b) Donner une solution de E lorsque p=5 puis lorsque p=13
-->p^2=25 donc (4;3)
p=13 p^2=169 donc (12;5)

4a) On se propose enfin de vérifier sur deux exemples que l'équation E est impossible lorsque p n'est pas la somme de deux carrés

a)p=3 et p=7 sont ils la somme de deux carrés ?
NON p=u^2+v^2 et on ne peut pas trouver de couples.

b)Démontrer que les équations x^2+y^2=9 et x^2+y^2=49 n'admettent pas de solutions en entiers naturels strictement positifs.
p^2=9 donc p=3 (ou-3 maiss on l'exclue ici)
p=3 ne peut pas être la somme d'entier relatif >0

p^2=49
p=7 ne peut pas être la somme d'entier relatif >0


Cordialement

b) donc p ne peut pas diviser x et y si il est plus petit, c'est impossible.

c)Or p est un nombre premier donc il ne peut pas admettre un diviseur d (différent de 1 ou de p. >>>>C'est absurde donc x et y n'admettent pas de diviseurs communs, ils sont donc premiers.

a)Oui mais pour la valeur absolue, comment je fais ? Car je retrouve ce que l'on doit trouve mais pour moi la valeur absolue u^2-v^2=u^2-v^2 (sans valeure absolue)

Pour la dernière question, j'ai cherché p dans les deux cas car à la base on a p^2 et à partir de ça j'ai montré qu'on ne peut pas trouver p tel qu'il soit la somme de deux entiers naturels.

D'accord merci

Pour la dernière question avez vous compris ma démarche et est elle bonne ?

Certes ; 3 et 7 ne peuvent pas s'exprimer par somme de carrés de deux entiers , mais cela ne prouve pas que l'équation n'a pas de solutions. C'est justement ce que l'on cherche à "vérifier" à travers ces 2 exemples.
Il faut faire la même chose que tu as déjà fait au tout début pour p=2.