Bonjour,
J'ai besoin d'aide pour la question 4.b de l'exercice suivant. J'ai réussi à faire les autres questions.

Soit A le point d'affixe zA=-i
B le point d'affixe zB=-2i

On appelle f l'application qui, à tout point M d'affixe z, M distinct de A, associe le pont M' d'affixe z' , définie par

z'=( i z - 2 ) / ( z + i )

1.Démonter que , si z est un imaginaire pur, z différent de -i, alors
z' est imaginaire pur.
2.Déterminer les points invariants par l'application f

3. Calculer | z' - i | * | z + i |.

Montrer que, quand le point M décrit le cercle de centre A et de rayon 2 , le point M' reste sur un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

4. a) Développer (z + i )² puis factoriser z² + 2 iz - 2.

b) Déterminer l'ensemble des points M, tels que M' soit le symétrique de M par rapport à O.


Voici ce que je pense faire. J'aimerais savoir si j'ai pris la bonne direction.

M' est le symétrique de M par rapport à O, donc on cherche :
Z = Z'
<=> Z =
<=> Z(Z+i) = -iz+2
<=> Z²+iZ+iZ-2 = 0
<=> Z²+2iZ-2 = 0
<=> [(Z+i)-1][(Z+i )+1] (factorisation donc déduite de la 4.a)
<=> Z+i-1 = 0 ou Z+i+1 = 0
<=> Z = -i+1 ou Z = -i-1
Donc l'ensemble cherché est l'ensembles des points d'affixes -i+1 et -i-1.

C'est tout ce que j'ai à faire ?
Merci