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Sujet bac S
Bonjour à tous, je suis en train de faire mon dm de maths et j'avoue que je bloque un peu. Je vous mets tous ce que j'ai pu faire et aidez moi à comprendre les choses toutes simples.
(Cf BAC S Asie juin 2013)
Exercice 2 les Fonctions exponentielles
On considère les fonctions f et g définies pour tout réel x par :
f(x)=e^x e tg(x)=1-e^−x.
Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement Cf et Cg, sont fournies en annexe.
Partie A
Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes. Tracer aux mieux ces tangentes sur la figure de l'annexe.
Partie B
Dans cette partie, on admet l'existence de ces tangentes communes.
On note D l'une d'entre elles. Cette droite est tangente à la courbe Cf au point A d'abscisse a et tangente à la courbe Cg au point B d'abscisse b.
a. Exprimer en fonction de a le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point A.
b. Exprimer en fonction de b le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cg au point B.
c. En déduire que b=-a.
Démontrer que le réel a est solution de l'équation
2(x-1)ex+1=0.
Partie C
On considère la fonction φ définie sur R par
φ(x)=2(x−1)ex+1.
1a. Calculer les limites de la fonction φ en −∞ (1) et +∞.(+∞)
b. Calculer la dérivée de la fonction φ (2xe^x) , puis étudier son signe. (j'ai fait une tableau de signe et j'ai trouvé négative de - infini à 0 et positive de 0 à +infini)
c. Dresser le tableau de variation de la fonction φ sur R. Préciser la valeur de φ(0)(-1)
2a. Démontrer que l'équation φ(x)=0 admet exactement deux solutions dans R(j'ai bien trouvé cela grâce a mon tableau de signe)
b. On note α la solution négative de l'équation φ(x)=0 et β la solution positive de cette équation. À l'aide d'une calculatrice, donner les valeurs de α (=environ -1,67) et β (=environ 0,77)arrondies au centième.
Partie D
Dans cette partie, on démontre l'existence de ces tangentes communes, que l'on a admise dans la partie B.
On note E le point de la courbe Cf d'abscisse α et F le point de la courbe Cg
d'abscisse −α (α est le nombre réel défini dans la partie C).
A°Démontrer que la droite (EF) est tangente à la courbe Cf au point E
B°Démontrer que (EF) est tangente à Cg au point F
Travail fait mais.....
je bloque dans la dernière partie c'est-à-dire la partie D.
J'ai essaye de calculer le coefficient directeur de la droite (EF)
Calcul du coefficient directeur d'une droite (EF) non parallèle à l'axe des ordonnées : a=yF-yE/xF-xE
d'où f'(α )=(1-2e^α )/-2α
Or α est solution de l'équation de le question 2 de la partie B
d'où 2(α -1)e^α +1=0 ce qui revient à 2α e^α -2e^α +1=0
Après cela je ne sais plus par quelle chemin passé! Aidez moi svp !
J'aimerais des explications.
Bonjour,
Le mieux serait peut-être de prendre les choses dans l'ordre, non ?
En commençant par la première question.
Partie A
Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes. Tracer aux mieux ces tangentes sur la figure de l'annexe.
Partie B
Dans cette partie, on admet l'existence de ces tangentes communes.
On note D l'une d'entre elles. Cette droite est tangente à la courbe Cf au point A d'abscisse a et tangente à la courbe Cg au point B d'abscisse b.
a. Exprimer en fonction de a le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point A.
Qu'as-tu trouvé ?
Bonjour, pour la première question c'est fait, mes tangentes sont tracées.
Partie B
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point A est e^a x.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cg au point B est -e^-b x.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point A est e^a x. Faux
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cg au point B est -e^-b x. Faux
J'ai une question pourquoi vous avez placer le point B à cet endroit du graphique?
Moi je l'avais mis à l'endroit où vous avez mis les pointillés sur la courbe rouge.
Je sais pas si vous allez comprendre ce que je veux dire mais je sais pas comment insérer des écritures sur mes images.
Aaaah oui je suis tout à fait d'accord avec vous.
Pour la prochaine question , j'ai dit que f'(a)=g'(b) d'où e^a=e^-b, soit a=-b
donc -a=b
On peut donc en conclure que b=-a
D'accord!
Pour les coefficients directeurs:
Le coefficient directeur des tangentes des courbes Cf au point A et Cg au point B se calcule grâce à la dérivée des fonctions respectives.
Or on sait que la dérivée d'une fonction exponentielle est toujours égale à elle-même.
Le coefficient de la tangente de la courbe Cf au point A est f'(a)=e^a. Le coefficient directeur de la tangente de la courbe Cg au point B est g'(b)=-e^-b.
Comme quoi, il faut bien prendre son temps :
Le coefficient de la tangente de la courbe Cf au point A est f'(a)=e^a. vrai
Le coefficient directeur de la tangente de la courbe Cg au point B est g'(b)=-e^-b. faux
Merci beaucoup pour vos explications et la manière avec laquelle vous prenez le temps de me faire prendre conscience de mes erreurs!
De rien.
b. Exprimer en fonction de b le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cg au point B.
j'ai dit que f'(a)=g'(b) d'où e^a=e^-b, soit a=-b
On est ok.
Ensuite, pour la question 2, j'ai essayé de faire quelque chose mais je me suis perdu quelque part.
Premièrement, j'ai dit que l'équation de la tangente de Cf est égale à l'équation de la tangente de Cg
D'où e^ax-e^a(a-1)=e^-bx+1-e^-b(b+1)
or b=-a
Donc e^ax-e^a(a-1)=e^ax+1-e^a(-a+1)
Après je ne savais pas si j'étais en train de me perdre ou je devais encore développer.
Salut je reprends en l'absence de Jedoniezh, pour la 2)
L'équation de la tangente de Cf en a est :
Or celle ci passe par le point coordonnées et tu viens de démontrer que
donc ça te donne un point de coordonnées
Donc maintenant remplace y par 1 et x par
et tu devrais retomber sur l'expression demandée en t'arrangeant un peu..
Salut, c'est très gentille de votre part. Je viens de faire ce que vous m'avez demandé de faire et je suis bien retombé sur l'expression demandé
On a don 2(-1+a)e^a+1=0
Après je peux donc remplacer le a par x en ajoutant que a est un nombre réel et qui est solution de l'équation proposé.
Je ne comprends pas pourquoi on fait cela ? Pourriez-vous m'expliquer? svp
On fait ça car par la suite on va étudier cette expression sous la forme d'une fonction..
Suis ton exercice tu verras l'utilité de faire ça.
Pour la PARTIE C :
1) Les limites tu as trouvé quoi ?
OK c'est bon (avec une bonne rédaction et une bonne justification ?? 
tu dois utiliser une croissance comparée en -
)
Pour là suite tu en es où ?
Oui oui j'ai tout rédigé pour mon devoir. Merci de me l'avoir dit qd même.
Alors j'ai fait toute la partie C entièrement.
Cependant, je bloque à la partie D. Je ne sais pas comment faire. J'ai pensé à calculer le coefficient directeur mais je me suis rendu compte que je me perdais dans tout cela. J'aimerais bien que vous m'expliquiez comment faire pour que j'essaie de le faire et que je le comprenne.
Calcule l'équation de la tangente en E et prouve que F appartient à cette droite (remplace x par et tu dois retrouver
Je n'ai pas trouvé ça.
Calcul de la tangente
e^
(x-)+e^
=e^x-e^+e^
=e^a-e^+e^
Voilà ce que j'ai trouvé
OK c'est bon (avec une bonne rédaction et une bonne justification ??
\to +\infty}[ \underbrace{\dfrac{-2(X+1)}{\text{e}^{X}}}_{\to 0}+1]=1[/tex]
Bonjour,
j'ai essayé plusieurs fois mais je n'y arrive pas. Les coordonnées du point E sont E(;f(). Est ce bien cela ? car je sais pas si c'est une erreur de coordonnées mais je n'y arrive pas du tout.
Je viens de réessayer de calculer l'équation de la tangente à Cf au point E d'abscisse a.
f'(a)(x-a)+f(a)=e^a(x-a)+e^a
=e^ax-ae^a+e^a
=e^ax-e^a(a-1)
Est-elle correct ?
https://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?\text{. }\Limits\lim_{x\to -\infty}\left[ 2(x-1)\text{e}^x+1\right]=\Limits\lim_{X\to +\infty}\left[ 2(-X-1)\text{e}^{-X}+1\right]=\Limits\lim_{X\to +\infty}[ \underbrace{\dfrac{-2(X+1)}{\text{e}^{X}}}_{\to 0}+1]=1
Je n'ai pas compris pourquoi vous avez remplacé le x par -X dans le calcul de limites.
Pour la limite en - tu peux simplement utiliser la croissance comparée.
Par croissance comparée
Donc par opération ,
Je viens de réessayer de calculer l'équation de la tangente à Cf au point E d'abscisse a.
f'(a)(x-a)+f(a)=e^a(x-a)+e^a
OK [quote]
Maintenant regarde si F appartient à cette tangente en sachant que l'abscisse de F est -a donc remplace x par -a pour commencer.
Je viens de réessayer de calculer l'équation de la tangente à Cf au point E d'abscisse a.
f'(a)(x-a)+f(a)=e^a(x-a)+e^a
OKMaintenant regarde si F appartient à cette tangente en sachant que l'abscisse de F est -a donc remplace x par -a pour commencer.
J'ai remplacer x par -a et j'obtiens:
yF=-ae^a-e^a(a-1)
=-ae^a-ae^a+^a
=-2ae^a+e^a
= e^a(-2a+1)
Voilà ce que j'ai obtenu.
OK donc tu obtiens
De plus tu sais que a est solution de 
(x) = 0 donc
Remplace maintenant dans la première équation et regarde à quoi tu arrives..
Il faut que je le remplace dans l'équation de la tangente
si c'est cela j'obtiens:
y=2e^a-1+e^a
Est ce bien cela??
J'obteins -2e^a+1+e^a=e^â+1
ahhh d'accord encore une erreur de signe.
Mais vous pouvez m'expliquer pourquoi vous avez fait ça
OK donc tu obtiens
De plus tu sais que a est solution de
(x) = 0 donc
Remplace
J'obteins -2e^a+1+e^a=e^â+1 Faux
ahhh d'accord encore une erreur de signe.
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