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Niveau terminale
Sujet de concours
Posté par yns91
Bonjour, bonsoir,
Je passe le concours général de mathématiques, la semaine prochaine. De ce fait, je m'entraîne sur le sujet de 2020.
Le sujet intégral est sur éduscol: malou edit > fichier rapatrié pour la pérennité du sujet 
Je bloque sur le problème n°1, donc je demande de l'aide ici 
.
Voici l'énoncé.
Problème 1 : les nombres pointus
Soit n un entier naturel non nul. On dit que n est pointu si n admet au plus un facteur premier ou bien si, en notant p et q les deux plus grands facteurs premiers de n, avec p > q, l?inégalité p 
2q est vérifiée.
Par exemple, 1 est pointu, car il n?a aucun facteur premier. De même, 25 est pointu, car il n?a qu?un seul facteur premier, et 147 est pointu, car 147 = 3×72 et 7 > 2×3. Au contraire, 105 n?est pas pointu, puisque 105 = 3×5×7 et 7 < 2×5.
Dans ce problème, on cherche à démontrer qu?il existe des suites arbitrairement longues d?entiers consécutifs pointus. Plus précisément, on souhaite démontrer la propriété P suivante :
"Pour tout entier m 1, il existe un entier n tel que les nombres n +1,n +2,...,n +m soient tous pointus."
I ? Quelques exemples
1) Le nombre 2020 est-il pointu ?
2) Quel est le plus petit entier naturel non nul qui ne soit pas pointu ?
3) Quel est le plus petit nombre pointu possédant au moins quatre facteurs premiers distincts ?
4) Démontrer qu?il existe une infinité de nombres pointus.
5) Démontrer qu?il existe une infinité d?entiers naturels non nuls qui ne sont pas pointus.
6) Établir la liste des nombres pointus entre 1 et 20 inclus. Quelle est la longueur maximale d?une suite
de nombres pointus consécutifs entre 1 et 20 ?
Voici mes traces de recherche !
1) 2020 est un entier. On peut donc le décomposer en un produit de facteur premiers.
2020 est alors égal à 2²
5101. Les deux plus grands facteurs premiers étant 5 et 101, on a bien 101>25 et 2020 est pointu.
2) D'après l'énoncé 1 est pointu et tout nombre premier est pointu (de ce que j'ai compris). Par conséquent, 2 et 3, parce qu'ils sont premiers, sont pointus. Ensuite, pour l'entier 4, il se décompose en 22. Il admet donc deux facteurs premiers et 2=2 (pas de supériorité stricte) donc 4 est le plus petit entier pointu.
3) Le plus petit entier pointu est 330 (=23511).
En effet les "premiers" nombres premiers sont : 2,3,5,7,11. On effectue le produit des plus petits facteurs premiers et on a bien 11> 52 alors que 1172 est faux
4) et 5) je suis bloqué
mais je songe à montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers.
Fin : je remercie d'avance tous ceux qui m'aideront 
c'est vraiment très aimable
Bonsoir,
1 et 3 ) Ok
2) on te demande le plus petit entier non nul qui ne soit pas pointu et tu réponds 4 est pointu 
4)Si tu arrives à montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers, tu peux par exemple dire que tout nombre s'écrivant 2 x 3 x 5 x p avec p premier supérieur ou égal à 11 est pointu. Cela donne bien une infinité de nombres pointus.
Bonsoir,
Pour 4) tu peux effectivement utiliser le théorème d'Euclide qui dit qu'il existe une infinité de nombres premiers (il y en a des dizaines de démonstrations que tu trouveras en ligne).
p étant un premier, il existe donc un premier qp 2p (sinon il y aurait un maximum de 2p premiers).
p*qp est alors pointu, et puisqu'il y a une infinité de p premiers, il y a une infinité de nombres pointus.
Pour 5), tu peux utiliser le même théorème d'Euclide, pour tout premier p il me semble que p² n'est pas pointu, mais la définition d'un pointu n'est pas très claire, à réfléchir...
Salut LeHibou.
D'après ce que sous-entend l'énoncé, p² est pointu puisqu'il n'admet qu'un seul facteur premier (l'énoncé donne 25 pour exemple).
Pour la 5, je prendrais comme exemple simple avec n entier naturel non nul.
A moins que quelque chose ne m'échappe ??
ty59847
ty59847 @ 15-03-2021 à 23:17
Pour la 3) : Le plus petit entier pointu avec 4 facteurs premiers distincts est 330 (=2x3x5x11).
Pour la 3) : Le plus petit entier pointu avec 4 facteurs premiers distincts est 330 (=2x3x5x11).
Pour la question 2, il y a effectivement une erreur de frappe, 4 est le plus petit entier non pointu.
Pour la question 3, j'ai oublié la partie "avec 4 facteurs premiers distincts"
Pour la question 4, le théorème d'Euclide est-il au programme de mathématiques de terminale ? (expertes) (je ne l'ai pas encore abordé en classe)
Mes réponses aux questions 1,2 et 3 sont-elles correctes à ce stade ?
On reprend à la question 4, j'ai deux solutions,
- celle de manu_du_40
Soit A l'ensemble des nombres s'écrivant de la forme avec
nombre premier supérieur ou égal à 11.
L'ensemble A est alors l'ensemble des nombres pointus avec 4 facteurs premiers distincts.
L'ensemble des nombres premiers est infini, par conséquent (par théorème d'Euclide), il existe une infinité de nombres premiers supérieurs ou égaux à 11. Il existe donc une infinité de nombres dans l'ensemble des nombres pointus avec 4 facteurs premiers distincts. Or, cet ensemble est inclus dans l'ensemble des nombres pointus, il en existe donc une infinité.
- celle de LeHibou je n'ai pas très bien compris, qu'est ce que qp ? La décomposition en facteurs premiers ?
Bonjour,
Pas beaucoup de temps.
Mais 4 est pointu.
L'énoncé donne 25 comme exemple de pointu.
Il faut bien voir l'importance de l'adjectif distinct, souligné par manu_du_40.
Re,
si jamais tu ne connais pas le théorème d'Euclide, tu peux toujours t'en sortir en disant que est toujours pointu puisque 11 > 5*2 et il existe bien une infinité de tels nombres.
Je suis d'accord avec Sylvieg, 4 est bel et bien pointu.
Pour la question 5, comment peut-on faire ?
Pour la question 6
Je trouve que : 1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,14,16,17,19 et 20 sont pointus.
La longueur d'une suite de pointus consécutifs est de 8 termes. (entre 7 et 14 inclus)
et remarque supplémentaire par rapport à ceci :
Citation :
1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,14,16,17,19 et 20 sont pointus.
1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,14,16,17,19 et 20 sont pointus.
12 = 2²*3 donc...