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Sujet de Terminale S avec exponentielle et tangente à la courbe

Posté par Profil Marc2002 29-12-21 à 13:24

Bonjour à tous,
Voici l?énoncé de mon sujet:

Soit f la fonction définie sur l?ensemble R par
f (x) = ex ? x.
La courbe représentative de la fonction f admet-elle une tangente passant par l'origine du repère ? Justifier.

Ma démarche de résolution (en passant les détails de rédaction) :
y=f?(a)(x-a)+f(a)
0=f?(a)(0-a)+f(a)
Après réduction on a:
f(a)=af?(a)
En appliquant à la fonction f(x) on a:
e^a(1-a)=0
Je résout ces deux équations et j?obtiens a=1. Je me demandais comment conclure après avoir trouver a=1. Est-ce que c?est suffisant pour conclure ?Comment trouver l?équation de la tangente qui passe justement par l?origine du repère ?
Je vous remercie d?avance pour vos réponses qui me seront bien précieuses d?autant plus que je cherche vraiment à comprendre le sujet

* Modération > titre modifié plus parlant *

Posté par Profil Marc2002re : Sujet de Terminale S 29-12-21 à 13:25

Petite erreur :
f(x)=e^x -x

Posté par
hekla
re : Sujet de Terminale S 29-12-21 à 13:42

Bonjour

Une équation de la tangente en a à la courbe est

y=f'(a)(x-a)+f(a)=f'(a)x+f(a)-f'(a)

Passe par l'origine ssi f(a)-af'(a)=0

 f(a)=\text{e}^a-a\quad f'(a)=\text{e}^a-1

\text{e}^a-a-a(\text{e}^a-1)=0 \quad \text{e}^a(1-a)=0

Il n'y a qu'une équation à résoudre   puisque pour tout x\  \text{e}^x>0


Oui, c'est nécessaire et suffisant pour que la courbe représentative de f admette une tangente passant par l'origine

Posté par Profil Marc2002re : Sujet de Terminale S avec exponentielle et tangente à la co 29-12-21 à 14:13

hekla @ 29-12-2021 à 13:42

Bonjour

Une équation de la tangente en a à la courbe est

y=f'(a)(x-a)+f(a)=f'(a)x+f(a)-f'(a)

Passe par l'origine ssi f(a)-af'(a)=0

 f(a)=\text{e}^a-a\quad f'(a)=\text{e}^a-1

\text{e}^a-a-a(\text{e}^a-1)=0 \quad \text{e}^a(1-a)=0

Il n'y a qu'une équation à résoudre   puisque pour tout x\  \text{e}^x>0


Oui, c'est nécessaire et suffisant pour que la courbe représentative de f admette une tangente passant par l'origine


Bonjour,
Merci pour cette réponse super rapide et claire!
Donc il n'est pas nécessaire de donner l'équation de cette tangente?

Posté par
hekla
re : Sujet de Terminale S avec exponentielle et tangente à la co 29-12-21 à 14:19

Si cela peut vous faire plaisir, il n'y a pas grand-chose à ajouter
Vous pouvez par exemple répondre
Oui, la courbe admet une tangente en 1 passant par l'origine, la droite d'équation



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