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Niveau énigmes
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Sujet : Opérations à trous

Posté par
g0217d
11-12-19 à 16:24

Bonjour,
J'ai récemment fait l'énigme suivante.
"XYZ + AB = CDEF
XYZ - AB = BGA
Trouver A, B, C, ..., X, Y, Z sachant que chaque lettre désigne un chiffre différent."

La solution est A = 7, B = 8, C = 1, D = 0, E = 2, F = 3, G = 6, X = 9, Y = 4, Z = 5.
J'ai trouvé assez laborieusement la solution. Seulement, je regarde toujours les indications par curiosité, même quand j'ai trouvé la solution. Et ici les premières indications
"Que peut valoir la retenue C ? Que peut valoir X ? Et D ? Que peut valoir le chiffre B ?"
correspondent effectivement aux premières étapes de mon raisonnement. Mais ensuite, les auteurs indiquent
"Pourquoi Z ne peut-il alors valoir que 4 ou 5 ?".
C'est sans doute évident mais je ne vois pas pourquoi Z ne peut valoir que 4 ou 5. Pourriez m'aider SVP ?

Posté par
carpediem
re : Sujet : Opérations à trous 11-12-19 à 17:35

salut

difficile avec une écriture en ligne

     XYZ                   BGA
+     AB             +       AB
---------           ----------
  CDEF                   XYZ

on en déduit immédiatement que C = 1 et X = B + 1

la première addition constituée d'un nombre de trois chiffres et d'un nombre de deux chiffres dont la somme est un nombre de quatre chiffre implique donc que X = 9  et puisque C = 1 alors D = 0 (car la seule retenue possible est 1)

on en déduit donc B = 8 et donc on en arrive à :

     9YZ                   8GA
+     A8             +       A8
---------           ----------
  10EF                    9YZ

donc Y + A et G + A doivent créer une retenue ainsi que Z + 8 et A + 8

sachant que ni A ni Z ne peuvent être 2 (car 0 est déjà utilisé)

mais pourquoi Z ne peut être ni 4 ni 5 je ne vois toujours pas ...

Posté par
littleguy
re : Sujet : Opérations à trous 11-12-19 à 17:38

Bonjour,

A priori, ça ne paraît pas immédiat. Il faudrait que tu donnes ta démarche. Ce qui est quasi immédiat c'est que C=1. Ensuite on doit pouvoir de proche en proche élucider le tout.

D'ailleurs le texte que tu donnes dit : Pourquoi Z ne peut-il alors valoir que 4 ou 5 ?
C'est donc qu'il y a des préalables que tu ne donnes pas.

Posté par
littleguy
re : Sujet : Opérations à trous 11-12-19 à 17:39

Bonjour carpediem. Pas vu ton intervention.

Posté par
carpediem
re : Sujet : Opérations à trous 11-12-19 à 19:32

salut littleguy

no problemo

Posté par
g0217d
re : Sujet : Opérations à trous 11-12-19 à 19:38

Merci pour vos réponses.

Carpediem : Oui j'ai posé les calculs en colonne comme toi. D'ailleurs, je n'avais pas pensé à transformer la différence en somme mais j'avais aussi transformé les calculs de l'énoncé en
    YZ                     1YZ
+ A8                  -   A8
-------               ---------
  1EF                       GA

Littleguy : Il n'y a pas de "préalables", le "alors" est apparemment une conséquence des indications précédentes sur B, C, D et X. C'est vraiment écrit comme ça, c'est-à-dire dans cet ordre.

Concernant ma démarche, j'ai suivi le même raisonnement que carpediem puis j'ai remarqué que
2 × YZ = EF + GA
donc que A et F sont de même parité.
Donc vue les chiffres restants, j'ai testé A = 2 ou 4 ou 6 mais à chaque fois on obtenait plus ou moins rapidement deux lettres égales. Puis j'ai testé A = 3 ou 5 ou 7. Et la seule solution est bien celle donnée plus haut. Mais c'est vrai que j'aurais gagné du temps si j'avais trouvé cette fameuse astuce sur Z.

Posté par
littleguy
re : Sujet : Opérations à trous 11-12-19 à 20:07

Oui, pardon j'avais lu en diagonale. Je vais regarder de plus près...

Posté par
littleguy
re : Sujet : Opérations à trous 11-12-19 à 20:26

> carpediem

Tu as écrit : mais pourquoi Z ne peut être ni 4 ni 5 je ne vois toujours pas ...

Alors que le texte dit : Pourquoi Z ne peut-il alors valoir que 4 ou 5 ?

Posté par
littleguy
re : Sujet : Opérations à trous 11-12-19 à 21:33

Puisqu'on a attribué 0, 1, 8 et 9, les deux dernières additions données par carpediem montrent que ça ne peut être que 4 ou 5 :

la première addition élimine 2 et 3 et la seconde 6 et 7, sauf mauvaise lecture une nouvelle fois.  

Posté par
dpi
re : Sujet : Opérations à trous 11-12-19 à 21:47

Bonsoir
J'ai une solution :

 Cliquez pour afficher

Posté par
carpediem
re : Sujet : Opérations à trous 11-12-19 à 22:24

littleguy : oui c'est une erreur ...

sinon : ha oui évidemment ta conclusion est "immédiate" 'entre guillemet vu que je n'ai pas été jusqu'au bout des valeurs déjà utilisées)

Posté par
g0217d
re : Sujet : Opérations à trous 12-12-19 à 00:13

Ok merci beaucoup.
Bonne soirée

Posté par
dpi
re : Sujet : Opérations à trous 12-12-19 à 06:57

Bonjour,

Une autre astuce vient  de Z=F-B et de Z=A+B  qui donne  F+A =0   donc 10 donc 4 et 6
ou 3 et 7  avec 2Z=10  donc Z=5.
J'arrivais à la matrice (img1) laissant indéterminé   G et Y  avec 4 ou 6 mais  G+A = Y   à la retenue
près  soit    4+7 =11 impossible qui donne 6+7 = 13 j'ai gardé 6
donnant  Y=4

Sujet : Opérations à trous

Posté par
dpi
re : Sujet : Opérations à trous 12-12-19 à 10:38

Voici une solution en cascade:

C=1   addition
X=9     retenue
D=0    
B=8   (X-1)
Z+8=10+F
A+8 =Z+10    
On en tire  Z=F+2   et Z= A-2  et 2 Z = A+F =10  et Z=5
soit  F=3  et A =7
On a  1+Y+7  = E+10  soit Y=E+2
Seule solution Y=4  et E=2  car Y=6 est impossible  (Y+A -->13 donc  E =3)
G = 6



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