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Sujet zéro 2011 Polynomes de Legendre
Bonjour, j'aurai besoin d'aide sur le sujet 1er sujet des sujets zéros 2011, je bloque sur la partie 2 question 5
Où il s'agit de :
Soit n ∈ 
. Après avoir montré qu'il existe (
0, ..., n) ∈ 
n+1 tel que
Ln(−X − 1) = 0L0 + ... + nLn,
établir l'égalité :
Ln(−X − 1) = (−1)nLn(X).
Pour le début de la question c'est fait Ln(-X-1) étant un polynome d'ordre n et les polynomes de Legendre étant une base de n[X] c'est cool.
Mais c'est pour l'égalité que ça bug. Je sais que Ln(X) = 
(nbrComb(n+k,k)*nbrComb(n,k)*Xk,k,0,n)
Mais je n'arrive pas a conclure.
Je mets un lien de la page
http://media.education.gouv.fr/file/capes_externe/71/7/capes_ext_math_140717.pdf
C'est juste pour situer la page pas sure que le lien fonctionne. Merci pour toute aide
Bonjour,
Il me semble qu'il faut raisonner à partir des questions qui précèdent.
Tu sais que Ln(−X − 1) = 0L0(X) + ... + nLn(X)
Comme 1 - (-1 - X) = X, on en déduit que :
Ln(X) = 0L0(-1 - X) + ... + nLn(-1 - X)
Comme Ln est orthogonal à n-1[X], on en déduit que <Ln(X),L0(-1-X)> = 0 d'où 0 = 0, et de même 1 = 0..., n - 1 = 0
Etc.
L0(X) donc il manque un ti détail. Mais je vais approfondir ton idée<Ln(X), L0(-1 - X)> = 0 (car Ln est orthogonal à n-1[X])
= <
iLi(-1 - X),L0(-1 - X)> = i<Li(-1 - X),L0(-1 - X)>.
Or pour i différent de 0, le produit scalaire est nul : il suffit de faire un changement de variable dans l'intégrale pour se ramener à <Li, L0>.
Tu as Ln(-1 - X) = nLn(X)
mais aussi par symétrie, Ln(X) = nLn(-1 - X)
D'où n2 = 1
Je te laisse trouver le signe de n...
oh oh très intelligent!! Notre prof a totalement buggué dessus je désespérais et justement il ne voulait pas utiliser le calcul des termes à termes. Merci pour ton aide. Je peux en faire part à mes collègues??
Bien sûr !
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