Exercie I:
1)
A = -5/3 + 7/5
A = -25/15 + 21/15
A = -4/15

B = 7/4 : 21/9
B= 7/4 * 9/21
B = (7*3*3)/(4*7*3)
B = 3/4

2)
C = -2(60 - 5*4²) - (8-15)
C = -2(60 - 5*16) - (-7)
C = -2(60 - 20) + 7
C = -2*(-20) + 7
C = 40 + 7
C = 47

Exercice II:
1) x² - 16 = (x-4)(x+4) [3ème identité remarquable]   -> réponse B
2) V(80) + V(20) = V(16*5) + V(4*5) = 4V(5) + 2V(5) = 6V(5)   -> réponse C
3) 1200*(1+5/100) = 1200*1,05 = 1260 F   -> réponse D
4) 10*25000 = 250 000 cm = 2,5 km   -> réponse C
5) 5x - (7x + 4) = 8 donc -2x -4 = 8, donc -2x = 4, donc x = -2   -> réponse A

Exercice III:
1999² - 1998² = (1999-1998)(1999+1998)   [3ème identité remarquable]
= 1*3997
= 3997

Voilà, sauf erreur,
padawan.

Exercice I:
1) La figure est laissée à votre distraction...

2) Dans le triangle RUP, le théorème de Pythagore donne: UP² = RP² + RU².
Donc RP² = UP² - RU².
soit: RP² = 12² - 8²
RP² = 144 -64
RP² = 80
Donc RP = V(80) cm,
c'est-à-dire: RP 8,9 cm, arrondie au dixième près.

3) D'après l'énoncé, on a: (RP) perpendiculaire (RU) et (EN) perpendiculaire (RU).
Or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
Donc (EN) // (RP).

4) Dans les triangles UEN et URP, on a:
¤ les points U,E,R sont alignés,
¤ les points U,N,P sont alignés,
¤ (EN)//(RP) (d'après 3)).
Le théorème de Thalès donne alors l'égalité suivante: UE/UR = UN/UP.
Donc 3/8 = UN/12.
Soit UN = 3*12/8   [produits en croix]
Donc UN = 4,5 cm.

Exercice II:
1) Dans le triangle OPB rectangle en B, on a: sin(angle OPB) = OB/OP.
Donc: sin 30° = OB/4,65.
Donc: OB = 4,65*sin 30°   [produits en croix]
Donc: OB = 2,325 km
Donc OB = 2325 m.

2) v = 15,5 km/h   et   d = 2,325 km.
La formule v=d/t donne t=d/v.
Donc t=2,325/15,5.
Donc t = 0,15 h, soit t = 0,15*60 = 9 min.
Le bâteau atteindra le ponton dans 9 minutes.

Voilà,
padawan.

Partie I: Liquide rouge:
1) Par lecture graphique, au début de l'expérience (pour 0 jour) la hauteur de liquide est de 120 mm.
2) Par lecture graphique, au bout de 15 jours, la hauteur de liquide est de 60 mm.
3) Un tiers d'évaporation signifie qu'il reste les deux tiers du liquide, soit 120*2/3 = 80 mm de liquide. Graphiquement, on lit qu'il reste cette hauteur de liquide 10 jours après le début de l'expérience.
4) Par lecture graphique, au bout de 5 jours, la hauteur de liquide est de 100 mm. Donc 120 - 100 = 20 mm de liquide se sont évaporés.

Partie II: Liquide bleu:
1) Pour tracer la repésentation graphique de cette fonction supposée affine, il suffit de placer les points (0;150) et (15;45) dans le repère et de les relier. Normalement, la droite doit passer par les points (5;115) et (8;94).
2) La fonction f est supposée affine, donc de la forme f(x) = ax + b.
Le point (0;150) appartient à sa représentation graphique, donc f(0)=150; ce qui donne b = 150.
Le point (15;45) appartient à sa représentation graphique, donc f(15)=45.
Donc 15a + 150 = 45.
15a = 45 -150.
15a = - 105.
a = - 105/15.
Donc a = -7.
Finalement, la fonction affine f est la fonction définie par f(x) = -7x + 150.

Partie III: Liquide vert:
On a: y = -8x+160.
1) Au début de l'expérience, donc pour x=0, on a: y = -8*0+160 = 160.
La hauteur de liquide vert au début de l'expérience est donc de 160 mm.
2) Une baisse de la moitié du liquide correspond à une hauteur de 160/2 = 80 mm.
Il faut donc résoudre l'équation 80 = -8x+160.
Donc 8x = 160-80.
On obtient finalement: x = 10.
Le liquide a donc baissé de moitié au bout de 10 jours d'exprérience.
3) La fonction g est une fonction affine à cause de son expression. Sa représentation graphique est donc une droite. Elle passe par les points de coordonnées (0;160) (d'après 1)) et (10;80) (d'après 2)).
Il suffit de placer ces deux points sur le repère, et de les relier.

Partie IV: Interprétation:
1) Par lecture graphique,
la droite correspondant au liqude rouge rencontre l'axe des abscisses pour x=30;
celle correspondant au liqude bleu rencontre l'axe des abscisses entre x=21 et x=22;
et celle correspondant au liqude rouge rencontre l'axe des abscisses pour x=20.
Donc le liquide qui s'évaporera totalement en premier sera le liquide bleu (au bout de 20 jours).

2)a.
Résolution par substitution: ce système induit: -7x+150 = -8x+160.
Donc x = 10.
Ainsi: y=-7*10+150=80.
La solution de ce système est donc le couple (10;80).

2)b.
Ce système correspond aux liquides bleu et vert.
résoudre ce système revient à calculer les coordonnées du point d'intersection des deux droites correspondant au liquide bleu et vert.
Sa solution correspond au moment où il reste autant de liquide bleu que de liquide vert.
On voit donc qu'au bout de 10 jours d'expérience, il restera 80 mm de liquide bleu et 80 mm de liquide vert.

Voilà pour ce brevet,
padawan.