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Niveau école ingénieur
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Sup et inf d'un ensemble

Posté par
Xburner
03-04-21 à 17:08

Salut à tous j'ai un problème à trouver l'inf de cet ensemble.
Pour le sup veuillez me corriger
A = { 2^x + 2^(1/x) : x>0 }

Pour le sup je suis passé par la croissance de la suite Un de A tel que Un = 2ⁿ + 2^(1/n) .Donc la limite de Un c'est le sup(A) =+ ∞

Pour l'inf je vois pas comment faire 😭

Posté par
malou Webmaster
re : Sup et inf d'un ensemble 03-04-21 à 17:09

Bonjour
peux-tu mettre ton profil à jour s'il te plaît, tu ne sembles plus être en terminale

Posté par
Xburner
re : Sup et inf d'un ensemble 03-04-21 à 17:12

j'avais oublié merci 😂

Posté par
matheuxmatou
re : Sup et inf d'un ensemble 03-04-21 à 18:32

bonsoir

et si tu étudiais la fonction ?

Posté par
carpediem
re : Sup et inf d'un ensemble 03-04-21 à 19:17

salut

posons f(x) = 2^x + 2^{1/x}

pour le sup on a immédiatement f(x) > 2^x et c'est fini

d'autre part  \forall x > 0  : f(x) = f(1/x) ce qui montre que ce sup est "atteint" en 0 et +oo et que la fonction admet un minimum puisque f est continue

de plus f est dérivable donc f(x) = f(1/x) \Longrightarrow f'(x) = - \dfrac 1 {x^2} f'(1/x)

to be continued ... later ...

Posté par
matheuxmatou
re : Sup et inf d'un ensemble 03-04-21 à 19:30

et je serais tenté de dire que, pas symétrie, si le minimum est atteint c'est pour x=1/x

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Sup et inf d'un ensemble 03-04-21 à 19:35

Bonjour,
Il ne pourrait pas y avoir un minimum atteint deux fois ?
Une fois en a et une autre fois en 1/a.

Posté par
Ulmiere
re : Sup et inf d'un ensemble 03-04-21 à 19:45

Intuitivement clair, mais pas si facile. On sait que f admet un minimum, pas pas s'il est unique. Rien ne l'empêche (pour l'instant) d'osciller entre les deux et de toucher plusieurs fois un minimum global.
En fait il y a une chose qui empêche cela, c'est la convexité (à prouver)
Un truc qui peut aider : f(1/x) = f(x) = 2^x + 2^{1/x} = 2^{x+1/x}(2^{-1/x}+2^{-x}) = 2^{x+1/x}f(-x).
Donc g(1/x) = g(x) en posant g(x) = 2^{-x}f(x), ie f(x) = 2^xg(x). Pour minimiser il faut donc minimiser x et g(x) dans le même sens donc maximiser 1/x et x ensemble donc x+1/x

Posté par
WilliamM007
re : Sup et inf d'un ensemble 03-04-21 à 20:35

Bonsoir.

La moyenne géométrique est dominée par la moyenne arithmétique :
\forall a,b>0,\quad\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}.

Soit x>0. En appliquant l'inégalité ci-dessus à a=x et b=\frac1x on a
x+\frac1x\ge2\sqrt{x\times\frac1x}=2,
et en l'appliquant à a=2^x et b=2^{1/x},
2^x+2^{1/x}\ge2\sqrt{2^x\times2^{1/x}}=2\sqrt{2^{x+\frac1x}}\ge2\sqrt{2^2}=4=2^1+2^{1/1},
donc l'infimum recherché est 4.

Posté par
carpediem
re : Sup et inf d'un ensemble 03-04-21 à 22:05

posons r = \sqrt 2

f(x) = 2^x + 2^{1/x} = r^{2x} + r^{2/x} = (r^x - r^{1/x})^2 +2r^{x + 1/x} \ge 2r^{x + 1/x} \ge 2r^{1 + 1/1} = 4

tout le monde sait que x + 1/x est minimal en 1 ... car c'est une fonction "classique" de lycée !!

Posté par
WilliamM007
re : Sup et inf d'un ensemble 03-04-21 à 22:12

J'ai envie de dire que c'est la même démo.

Tu écris que a+b=(\sqrt a-\sqrt b)^2+2\sqrt{ab}\ge2\sqrt{ab}, c'est le fait que la moyenne arithmétique domine la moyenne géométrique

Posté par
carpediem
re : Sup et inf d'un ensemble 03-04-21 à 22:31

oui mais moi je reste au collège et n'emploie pas de gros mots

Posté par
matheuxmatou
re : Sup et inf d'un ensemble 03-04-21 à 23:33

autre méthode plus fonctionnelle ...

2^a +2^b = 2^\frac{a+b}{2} \times 2 \; \cosh\left(\dfrac{a-b}{2}\ln(2)\right) \geqslant   2^\frac{a+b+2}{2}

avec a=x et b=1/x

2^x + 2^{1/x} \geqslant 2^{\dfrac{(1+x)^2}{2x}} \geqslant 2

puisque (x+1)² 2x

minimum 2 atteint pour x=1

Posté par
WilliamM007
re : Sup et inf d'un ensemble 04-04-21 à 00:02

Alors je vais passer pour un maniaque compulsif mais je crois que c'est encore et toujours une réécriture de la même démo !

matheuxmatou @ 03-04-2021 à 23:33

2^a +2^b = 2^\frac{a+b}{2} \times 2 \; \cosh\left(\dfrac{a-b}{2}\ln(2)\right) \geqslant   2^\frac{a+b+2}{2}

Ce n'est rien d'autre que la démo que la moyenne arithmétique domine la moyenne géométrique ! (Prendre a=\log_2(x) et b=\log_2(y))

Posté par
matheuxmatou
re : Sup et inf d'un ensemble 04-04-21 à 09:19

bien sûrWilliamM007 ... tout cela est le même monument pris en photo sous des angles différents !

Posté par
etniopal
re : Sup et inf d'un ensemble 04-04-21 à 09:38

    Ce que je propose  (mais ....!!   )
    Soient a un réel > 1  et h l'application    x   ax  +  a1/x ( de +* vers )  qui est C

   On a h"(x) > 0 pour tout x de sorte que  h' est   strictement croissante   et  comme  h'(1) = 0  on a :  Inf (h) = h(1) = 2a.

Posté par
carpediem
re : Sup et inf d'un ensemble 04-04-21 à 10:41

etniopal : certes mais pour affirmer cela il te faut calculer explicitement les dérivées f' et f" et justifier le signe de f" ...

l'idée est de s'en dispenser (toujours pénible quand on a une exponentielle qui n'est pas de base e car il apparait des ln a) par un calcul moins fastidieux ...

mise à part l'utilisation du minimum de la fonction x + 1/x et une minoration WilliamM007, matheuxmatou et moi-même utilisons le même résultat (IAG) sous les versions :

WilliamM007 : inégalité arithmético-géométrique
matheuxmatou : idem + cosinus hyperbolique
carpediem : identité remarquable

je préfère mon expression ... plus élémentaire et minimaliste ...

PS : une petite coquille dans le msg de matheuxmatou à 23h33 : le dernier 2 est un 4

certes 2 < 4 donc ce qu'il écrit est vrai mais ne donne pas le minimum ...

d'ailleurs je rajouterai que je ne suis pas d'accord avec la conclusion de matheuxmatou à 19h30 ...

la seule chose que l'on puisse conclure : c'est qu'on a un extremum sur l'ensemble {x = 1/x} donc en 1 puisque la dérivée n'a pas même signe à gauche et à droite de 1 d'après ma relation f'(x) = -(1/x^2)f'(1/x)

avec un peu de feeling on espère que c'est le minimum ...

Posté par
WilliamM007
re : Sup et inf d'un ensemble 04-04-21 à 11:03

Merci carpediem pour cette synthèse

carpediem @ 04-04-2021 à 10:41

etniopal : certes mais pour affirmer cela il te faut calculer explicitement les dérivées f' et f" et justifier le signe de f" ...

Si je ne dis pas de bêtise, on trouve rapidement que f'' est une somme de termes strictement positifs, donc c'est ok. Ce n'est pas ce qu'il y a de plus joli, mais ça a le mérite d'être un raisonnement assez automatique qui donne la réponse si on n'a pas d'une part l'intuition que le minimum est en 1, et d'autre part l'idée de le prouver avec des résultats de type IAG.

Posté par
matheuxmatou
re : Sup et inf d'un ensemble 04-04-21 à 11:13

effectivement mon idée de 19:30 était plutôt hasardeuse

et effectivement pour celui de 23:33 :

(1+x)² 4x

et mon dernier 2 est un 4 ... merci carpediem

Posté par
Ulmiere
re : Sup et inf d'un ensemble 04-04-21 à 12:09

Encore une autre variante, avec que des trucs niveau terminale.

f est à valeurs positives donc minimiser f(x) équivaut à minimiser g(x) = 2^{f(x)} = 2^{2^x}\times 2^{2^{1/x}} = g_1(x) \times g_2(x)

Soit un argmin(g). g_1 et g_2 ne s'annulent pas (exponentielles) et 0 = g'(x) = g_1'(x)g_2(x) + g_2'(x)g_1(x) \implies \dfrac{g_1'(x)}{g_1(x)} = -\dfrac{g_2'(x)}{g_2(x)}.

Or, g_2 = g_1\circ j où j est la fonction inverse, donc g_2' = - (g_1'\circ j) \times j^2.


D'où \dfrac{g_1'(x)}{g_1(x)} = \dfrac{g_1'(1/x)}{x^2g_1(1/x)}. Ensuite (2^h)' = \ln(2) \times 2^h \times h' donc g_1' = \ln^2(2) 2^i g_1 où i est l'identité.


Donc \ln^2(2)2^xx^2 = \ln^2(2) 2^{1/x}, puis 1/x = x + 2\log_2(x) en passant au \log_2. Ce problème admet (TVI) une unique solution et il se trouve que 1 en est une. L'unique argmin est donc 1.



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