Salut à tous j'ai un problème à trouver l'inf de cet ensemble.
Pour le sup veuillez me corriger
A = { 2^x + 2^(1/x) : x>0 }
Pour le sup je suis passé par la croissance de la suite Un de A tel que Un = 2ⁿ + 2^(1/n) .Donc la limite de Un c'est le sup(A) =+ ∞
Pour l'inf je vois pas comment faire 😭
salut
posons
pour le sup on a immédiatement f(x) > 2^x et c'est fini
d'autre part ce qui montre que ce sup est "atteint" en 0 et +oo et que la fonction admet un minimum puisque f est continue
de plus f est dérivable donc
to be continued ... later ...
Bonjour,
Il ne pourrait pas y avoir un minimum atteint deux fois ?
Une fois en a et une autre fois en 1/a.
Intuitivement clair, mais pas si facile. On sait que f admet un minimum, pas pas s'il est unique. Rien ne l'empêche (pour l'instant) d'osciller entre les deux et de toucher plusieurs fois un minimum global.
En fait il y a une chose qui empêche cela, c'est la convexité (à prouver)
Un truc qui peut aider : .
Donc g(1/x) = g(x) en posant , ie . Pour minimiser il faut donc minimiser x et g(x) dans le même sens donc maximiser 1/x et x ensemble donc x+1/x
Bonsoir.
La moyenne géométrique est dominée par la moyenne arithmétique :
.
Soit . En appliquant l'inégalité ci-dessus à et on a
,
et en l'appliquant à et ,
,
donc l'infimum recherché est 4.
posons
tout le monde sait que x + 1/x est minimal en 1 ... car c'est une fonction "classique" de lycée !!
J'ai envie de dire que c'est la même démo.
Tu écris que , c'est le fait que la moyenne arithmétique domine la moyenne géométrique
Alors je vais passer pour un maniaque compulsif mais je crois que c'est encore et toujours une réécriture de la même démo !
Ce que je propose (mais ....!! )
Soient a un réel > 1 et h l'application x ax + a1/x ( de +* vers ) qui est C
On a h"(x) > 0 pour tout x de sorte que h' est strictement croissante et comme h'(1) = 0 on a : Inf (h) = h(1) = 2a.
etniopal : certes mais pour affirmer cela il te faut calculer explicitement les dérivées f' et f" et justifier le signe de f" ...
l'idée est de s'en dispenser (toujours pénible quand on a une exponentielle qui n'est pas de base e car il apparait des ln a) par un calcul moins fastidieux ...
mise à part l'utilisation du minimum de la fonction x + 1/x et une minoration WilliamM007, matheuxmatou et moi-même utilisons le même résultat (IAG) sous les versions :
WilliamM007 : inégalité arithmético-géométrique
matheuxmatou : idem + cosinus hyperbolique
carpediem : identité remarquable
je préfère mon expression ... plus élémentaire et minimaliste ...
PS : une petite coquille dans le msg de matheuxmatou à 23h33 : le dernier 2 est un 4
certes 2 < 4 donc ce qu'il écrit est vrai mais ne donne pas le minimum ...
d'ailleurs je rajouterai que je ne suis pas d'accord avec la conclusion de matheuxmatou à 19h30 ...
la seule chose que l'on puisse conclure : c'est qu'on a un extremum sur l'ensemble {x = 1/x} donc en 1 puisque la dérivée n'a pas même signe à gauche et à droite de 1 d'après ma relation f'(x) = -(1/x^2)f'(1/x)
avec un peu de feeling on espère que c'est le minimum ...
Merci carpediem pour cette synthèse
effectivement mon idée de 19:30 était plutôt hasardeuse
et effectivement pour celui de 23:33 :
(1+x)² 4x
et mon dernier 2 est un 4 ... merci carpediem
Encore une autre variante, avec que des trucs niveau terminale.
f est à valeurs positives donc minimiser f(x) équivaut à minimiser
Soit un argmin(g). et ne s'annulent pas (exponentielles) et .
Or, où j est la fonction inverse, donc .
D'où . Ensuite donc où i est l'identité.
Donc , puis en passant au . Ce problème admet (TVI) une unique solution et il se trouve que 1 en est une. L'unique argmin est donc 1.
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