pour ce qui est du supplémentaire, tu as raison,
en effet, l'intersection de A et B est le vecteur nul et
dim(A)+dim(B)=4=dim
ensuite, pour ce qui est de l'orthogonal


on pose u=(1,0,1,0) et v=(2,1,0,2)

on a u A et v B

et u.v=20

on a donc trouvé un contre exemple, A et B ne sont donc pas orthogonaux !

voila ce que tu voulais (enfin j'éspère ne pas m'etre trompé ! )

ok j'ai compris, on prend 2 vecteurs appartenant l'un à A l'autre à B

on fait le produit scalaire, si cest = 0 cest orthogonal sinon ca ne l'ai pas!

disons que la premiere facon de montrer que deux espaces A et B sont orthogonaux est de montrer que

pour tout élément u de A et pour tout élément v de B

on a u.v=0

ce que donne par contraposée, si il existe u dans A et v dans B tels que u.v0 alors A et B ne sont pas orthogonaux .

Voila !

P.S: il y a d'autres méthodes pour les orthogonaux mais là, il faut reprendre un cours dessus ... !

par contre, j'ai un doute en fait dans un exo fait en TD on a deduis avec Dim A + B < Dim A + Dim B que c'était pas supplémentaire...

mais on dit dans le cours que A et B supplementaire <=> Dim A + Dim B = n sachant qu'on est dans ⁿ

alors suis un peu embrouillé, l'exo du TD en question est :

2 sous espace vectoriels sont ils supplementaires ? orthogonaux ?
Données: Vect( (1,2,3,4), (4,3,2,1)) et Vect( (1,2,2,1), (0,1,1,0))

Dim A + B = 3
Dim A = Dim B = 2

avec Dim A + B < Dim A + Dim B on a deduis que c'était pas supplémentaire.

premierement, la vraie équivalence, c'est

A et B supplémentaire dim(A)+dim(B)=n et A B = {0}

ce qu'il y a dans ton TD est vrai,
en effet, on a
dim(A+B)=dim(A)+dim(B)-dim(AB)

or A et B sont supplementaires ssi AB={0}
donc ssi dim(A+B)=dim(A)+dim(B)

mais ce que je n'avais pas vu dans ta premiere question c'est que dans ton premier exemple dim(A+B)=4 et non 2

si tu as d'autres question, n'hesite pas !