Niveau première

Sur Barycentre (pour demain!)

Posté par scoubidouchou (invité) 07-02-05 à 09:06

Bonjour! J' ai cet exercice à faire pour demain mais je n'y arrive vraiment pas. Pourriez-vous m'aider svp?
Voici l'énoncé:
ABCD est un rectangle de centre O, et sont deux réels appartenant à l'intervalle ]0;1[. On note I et J les points tels que \vec{AI}=\vec{AB} et \vec{DJ}=\vec{DI}. Le but du problème est de trouver à quelle condition portant sur et , les points A, J, C, sont alignés.
On propose diverses méthodes:
1. Solution barycentrique
a/ Démontrez que I est barycentre des points pondérés (A,1-), (B,).
b/ De la même manière, prouvez que J peut être considéré comme le barycentre de (D, ), (I,), où et seront exprimés en fonction de .
c/ Déduisez-en que "A,J,C, sont alignés" équivaut à "=1-".

2.Solution analytique
Le plan est muni d'un repère orthonormale (A; ,) dans lequel B et D ont respectivement pour coordonnées (b ; 0) et (0; d).
a/ Calculez les coordonnées de I, puis celles de J.
b/ Déduisez en une condition nécessaire et suffisante portant sur et ,pour que les points A,J,C soient alignés.

Merci beaucoup pour votre attention.

Posté par slybar (invité)re : Sur Barycentre (pour demain!) 07-02-05 à 13:22

Bonjour,

1)a) si I est le barycentre de ( $A,1-\lambda$ ),( $B,\lambda$ )
alors $(1-\lambda)\vec{AI}+\lambda\vec{BI}=\vec{0}$

$(1-\lambda)\vec{AI}+\lambda\vec{BI}=\vec{AI}+\lambda\vec{IA}+\lambda\vec{BI}$
or $\vec{AI}=\lambda\vec{AB}$
donc $\lambda\vec{AB}+\lambda\vec{BA}=\vec{0}$
Donc i est le barycentre de ( $A,1-\lambda$ ),( $B,\lambda$ )

b) si J est le barycentre de ( $D,\alpha$ ),( $I,\beta$ )
alors $\alpha\vec{DJ}+\beta\vec{IJ}=\vec{0}$

$\alpha\vec{DJ}+\beta\vec{IJ}=\alpha\vec{DJ}+\beta\vec{DI}+\beta\vec{DJ}=(\alpha+\beta)\vec{DJ}+\beta\vec{ID}$
or $\vec{DJ}=\mu\vec{DI}$
donc $(\alpha+\beta)\mu\vec{DI}-\beta{DI}$
$(\alpha+\beta)\mu\vec{DI}-\beta{DI}=\vec{0}$
ssi $\alpha+\beta)\mu-\beta=0$
alors $\mu=\frac{\beta}{\alpha+\beta}$

C) A,J,C, sont alignés ssi $\vec{AJ}=k\vec{AC}$ k0

$\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}=\lambda\vec{AI}+\vec{AD}$
$\vec{AC}=\lambda\vec{AD}+\vec{AD}+\lambda\vec{DI}$
$\vec{AC}=(\lambda+1)\vec{AD}+\lambda\vec{DI}$
or $\vec{AD}=\vec{AJ}+\vec{JD}=\vec{AJ}+\mu\vec{ID}$
$\vec{AC}=(\lambda+1)\vec{AD}+\lambda\vec{DI}=(\lambda+1)\vec{AJ}+\lambda\vec{DI}-(\lambda\mu+\mu)\vec{DI}=(\lambda+1)\vec{AJ}+(\lambda-\lambda\mu-\mu)\vec{DI}$

A,C et J sont alignés ssi
$\lambda-\lambda\mu-\mu=0$
$\lambda-\mu=\lambda\mu$

Posté par scoubidouchou (invité)re : Sur Barycentre (pour demain!) 07-02-05 à 21:33

merci beaucoup slybar. J'ai pu terminer l'exo grâce à ton aide. Encore merci

Posté par slybar (invité)re : Sur Barycentre (pour demain!) 07-02-05 à 21:57

Par contre je trouve bien $\lambda\mu=1-\mu$ dans la 2ème question.

Coordonnées de I :

$\vec{AI}=\lambda\vec{AB}$
$x_I-x_A=\lambda(x_B-x_A)$
$y_I-y_A=\lambda(y_B-y_A)$
ici A(0;0) origine du repère
donc $x_I=\lambda x_B=b\lambda$
$y_I=\lambda y_B=0$
I( $b\lambda;0$ )

Coordonnées de J :
$\vec{DJ}=\mu\vec{DI}$
$x_J-x_D=\mu(x_I-x_D)$
$x_J=b\mu\lambda$
$y_J-y_D=\mu(y_I-y_D)$
$y_J-d=-d\mu$
$y_J=d(1-\mu)$

J( $b\lambda\mu;d(1-\mu)$ )

Si A,J et C sont alignés alors $\vec{AJ}=k\vec{AC}$ avec k0
$x_J=kx_C$
$y_J=ky_C$

$b\lambda\mu=kb$ $\lambda\mu=k$
$d(1-\mu)=kd$ $(1-\mu)=k$
donc $\lambda\mu=(1-\mu)$

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