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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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sur des morphismes de groupes

Posté par
Saiga
26-02-21 à 10:07

Bonjour,

J'ai l'énoncé suivant :

Soient m et n deux entiers, avec n,m\geq 2.

1) Combien y a-t'il de morphismes de groupes possibles de \Z/ 4\Z dans \Z/n\Z \times \Z/m\Z ?

2) Pour quelles conditions sur m et n a-t'on des morphismes injectifs ?  

_______________________________________________________________________________________________

Pour la question 1, j'ai trouvé 16 morphismes.

Soit f: \Z/ 4\Z \rightarrow \Z/n\Z \times \Z/m\Z un morphisme de groupe.
Puisque \Z/ 4\Z est engendré par \bar{1}, il suffit d'étudier f(\bar{1}). On sait que o\left( \bar{a},\bar{b}\right)\in \Z/ n\Z\times \Z/ m\Z est égale au PPCM des ordres respectifs de  \bar{a} et de \bar{b}. Examinons les ordres :

a) le cas o(f(\bar{1}))=1, alors o\left( \bar{a},\bar{b}\right) = 1  et le seul couple correspondant est o\left( \bar{0},\bar{0}\right)\in \Z/ n\Z\times \Z/ m\Z. Donc,  on obtient le morphisme trivial.

b) le cas o(f(\bar{1}))=2, alors :

  • \left( o(\bar{a}),o(\bar{b})\right)=(1,2) \text{ ou }(2,1). On ne traite que le 1er cas, pour le second il suffit d'échanger les rôle de a et de b. On sait que G=\Z/ m\Z est monogène et donc que ses éléments d'ordre 2 sont inclus dans un sous groupe, noté G_2=\left\{ g \in G : g^2=1\right\} , avec |G_2|=2, mais puisque 2 est premier, ont que G_2 = \Z/ 2\Z et donc il y a \phi(2)=1 élément d'ordre 2, avec \phi la fonction indicatrice d'Euler. Il n'ya donc qu'un morphisme dans ce cas (donc deux en comptant le cas symétrique).
•  \left( o(\bar{a}),o(\bar{b})\right)=(2,2). On traite ce cas de la même manière. On a donc un morphisme de plus.

c) le cas  o(f(\bar{1}))=2, alors :

\left( o(\bar{a}),o(\bar{b})\right)=(1,4) \text{ ou }(4,1) et de manière similaire, on obtient 4 morphismes (2 pour le 1er cas et 2 pour le second).

\left( o(\bar{a}),o(\bar{b})\right)=(2,4) \text{ ou }(4,2) encore une fois on obtient 4 morphismes possibles.

\left( o(\bar{a}),o(\bar{b})\right)=(4,4) et là encore on obtient 4 morphismes possibles.

Ainsi, on a  : 4+4+4+3+1 = 15 morphismes de groupes de \Z/ 4\Z dans \Z/n\Z \times \Z/m\Z.

2) Et là je suis dans la panade, je ne dépasse pas le critère : f \text{ injective } \Leftrightarrow \ker(f)=\{0\}.....

Posté par
GBZM
re : sur des morphismes de groupes 26-02-21 à 10:17

Bonjour,

Je ne comprends pas ta réponse "16" à la question 1. La réponse dépend bien évidemment de m et de n. Crois-tu par exemple qu'on a toujours un élément d'ordre 4 dans \Z/m\Z ?

Ensuite, pour la question 2), ne vois-tu pas un rapport entre l'ordre de l'image de (la classe de) 1 et l'injectivité ?

Posté par
Saiga
re : sur des morphismes de groupes 26-02-21 à 19:41

Bonjour,

Le fait qu'on demande que f : \Z/4\Z \rightarrow \Z/n\Z\times \Z/m\Z soit un morphisme de groupe et la propriété d'ordre : \left(f(a)\right)^{o(a)}=1 ne suffit-elle pas à justifier ma première partie ?

Bah tout ce que je vois pour la question 2, c'est que : o\left(f(\bar{1})\right)=1 , car f est injective...

Posté par
GBZM
re : sur des morphismes de groupes 26-02-21 à 21:21

Tu ne réponds absolument pas à mon objection : le nombre de morphismes de groupes de \Z/4\Z dans \Z/m\Z\times \Z/n\Z dépend bien évidemment de m et n. Par exemple, penses-tu vraiment qu'il y a 16 morphismes de groupes de \Z/4\Z dans \Z/3\Z\times \Z/5\Z ?

Pour la suite :

Saiga @ 26-02-2021 à 19:41

o\left(f(\bar{1})\right)=1 , car f est injective...
Là, franchement, ça ne va pas du tout  ! Prends un morphisme injectif bateau, par exemple l'identité de \Z/4\Z dans \Z/4\Z. L'ordre de l'image de la classe de 1, c'est 1 ???

Posté par
Saiga
re : sur des morphismes de groupes 27-02-21 à 06:28

Bonjour,

Je vais tâcher de reprendre tout cela de façon plus précise.

1) On considère f : \Z/4\Z \rightarrow \Z/n\Z \times \Z/m\Z un morphisme de groupes.
On sait que \bar{1} est un générateur de \Z/4\Z et que donc f est entièrement déterminé par l'image de \bar{1}.
De plus, grâce au théorème de factorisation des morphismes de groupes, on a que l'ordre de f(\Z/4\Z) divise 4 et que donc o\left( f(\bar{1})\right) divise 4 également.
Or la liste des diviseur de 4 est \{1,2,4\}.
Finalement, pour que f soit un morphisme de \Z/4\Z dans \Z/n\Z\times \Z/m\Z, il faut que : o\left( f(\bar{1})\right) soit un élément de la liste des diviseurs de 4.
D'où l'étude réalisé dans le message initiale.

2) Là je m'excuse platement ! Supposons que f soit injective, alors on doit avoir : o(f(\bar{1}))=4, j'ai confondu la classe de 1 avec celle de 0 (pour aucune raison, en plus, semble-t'il...)

Est-ce cela ?

Posté par
GBZM
re : sur des morphismes de groupes 27-02-21 à 07:56

Tu n'as toujours pas répondu aux questions :

1) Quel est le nombres de morphismes de groupes de \Z/4\Z dans \Z/n\Z\times \Z/m\Z (en fonction de n et m) ?
2) Donner une condition nécessaire et suffisante sur n,m
pour qu'il existe un morphisme injectif.

Posté par
Saiga
re : sur des morphismes de groupes 27-02-21 à 09:00

Re-bonjour,

Je suis légèrement perdu..... en l'instant : je dirais qu'il y a au plus 16 morphismes de \Z/4\Z dans \Z/n\Z\times \Z/m\Z...

Mais je ne vois pas trop comment préciser ce nombre...

2) Puisque o(\bar{a},\bar{b}) \in \Z/n\Z \times \Z/m\Z est le ppcm des ordres \bar{a} et de \bar{b} respectivement dans \Z/n\Z et \Z/m\Z et donc on veut que 4 divise l'ordre de \Z/n\Z \times \Z/m\Z

Posté par
GBZM
re : sur des morphismes de groupes 27-02-21 à 09:16

Pour la question 1, tu t'en sortiras peut-être si tu réalises qu'un morphisme dans \Z/n\Z\times\Z/m\Z, c'est un couple formé d'un morphisme dans \Z/n\Z et d'un morphisme dans \Z/m\Z.

Ta réponse à 2) commence bien et termine mal : penses-tu qu'il y ait un morphisme injectif de \Z/4\Z dans \Z/2\Z\times\Z/2\Z ?

Posté par
Saiga
re : sur des morphismes de groupes 27-02-21 à 10:47

re-bonjour,

Posons f=(f_n,f_m), avec f_n à valeurs dans \Z/n\Z et f_m à valeursdans \Z/m\Z. Alors pour a \in \Z/4\Z, on obtient que f_n(a), f_m(a) \in \{1,2,4\} et donc n,m sont des multiples de ces nombres...
Mais ça ne m'avance pas beaucoup non ?

Pour la question 2 j'y reviendrais plus tard...

Posté par
GBZM
re : sur des morphismes de groupes 27-02-21 à 13:32

Ben oui, si tu fais fausse route, tu n'avances pas tellement. Qu'est-ce que cette histoire de

Saiga @ 27-02-2021 à 10:47

f_n(a), f_m(a) \in \{1,2,4\}
???

Combien y a-t-il d'éléments d'ordre 4 dans \Z/n\Z ? d'ordre 2 ? d'ordre 1 ? (La réponse dépend de n, bien entendu !).



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