Inscription / Connexion Nouveau Sujet
sur des morphismes de groupes
Bonjour,
J'ai l'énoncé suivant :
Soient et
deux entiers, avec
.
1) Combien y a-t'il de morphismes de groupes possibles de dans
?
2) Pour quelles conditions sur et
a-t'on des morphismes injectifs ?
_______________________________________________________________________________________________
Pour la question 1, j'ai trouvé 16 morphismes.
Soit un morphisme de groupe.
Puisque est engendré par
, il suffit d'étudier
. On sait que
est égale au PPCM des ordres respectifs de
et de
. Examinons les ordres :
a) le cas , alors
et le seul couple correspondant est
. Donc, on obtient le morphisme trivial.
b) le cas , alors :
• . On ne traite que le 1er cas, pour le second il suffit d'échanger les rôle de
et de
. On sait que
est monogène et donc que ses éléments d'ordre 2 sont inclus dans un sous groupe, noté
, avec
, mais puisque 2 est premier, ont que
et donc il y a
élément d'ordre 2, avec
la fonction indicatrice d'Euler. Il n'ya donc qu'un morphisme dans ce cas (donc deux en comptant le cas symétrique).
• . On traite ce cas de la même manière. On a donc un morphisme de plus.
c) le cas , alors :
• et de manière similaire, on obtient 4 morphismes (2 pour le 1er cas et 2 pour le second).
• encore une fois on obtient 4 morphismes possibles.
• et là encore on obtient 4 morphismes possibles.
Ainsi, on a : 4+4+4+3+1 = 15 morphismes de groupes de dans
.
2) Et là je suis dans la panade, je ne dépasse pas le critère : .....
Bonjour,
Je ne comprends pas ta réponse "16" à la question 1. La réponse dépend bien évidemment de m et de n. Crois-tu par exemple qu'on a toujours un élément d'ordre 4 dans ?
Ensuite, pour la question 2), ne vois-tu pas un rapport entre l'ordre de l'image de (la classe de) 1 et l'injectivité ?
Bonjour,
Le fait qu'on demande que soit un morphisme de groupe et la propriété d'ordre :
ne suffit-elle pas à justifier ma première partie ?
Bah tout ce que je vois pour la question 2, c'est que : , car
est injective...
Tu ne réponds absolument pas à mon objection : le nombre de morphismes de groupes de dans
dépend bien évidemment de
et
. Par exemple, penses-tu vraiment qu'il y a 16 morphismes de groupes de
dans
?
Pour la suite :
Bonjour,
Je vais tâcher de reprendre tout cela de façon plus précise.
1) On considère un morphisme de groupes.
On sait que est un générateur de
et que donc
est entièrement déterminé par l'image de
.
De plus, grâce au théorème de factorisation des morphismes de groupes, on a que l'ordre de divise 4 et que donc
divise 4 également.
Or la liste des diviseur de 4 est .
Finalement, pour que soit un morphisme de
dans
, il faut que :
soit un élément de la liste des diviseurs de 4.
D'où l'étude réalisé dans le message initiale.
2) Là je m'excuse platement ! Supposons que soit injective, alors on doit avoir :
, j'ai confondu la classe de 1 avec celle de 0 (pour aucune raison, en plus, semble-t'il...)
Est-ce cela ?
Tu n'as toujours pas répondu aux questions :
1) Quel est le nombres de morphismes de groupes de dans
(en fonction de
et
) ?
2) Donner une condition nécessaire et suffisante sur
pour qu'il existe un morphisme injectif.
Re-bonjour,
Je suis légèrement perdu..... en l'instant : je dirais qu'il y a au plus 16 morphismes de dans
...
Mais je ne vois pas trop comment préciser ce nombre...
2) Puisque est le ppcm des ordres
et de
respectivement dans
et
et donc on veut que 4 divise l'ordre de
Pour la question 1, tu t'en sortiras peut-être si tu réalises qu'un morphisme dans , c'est un couple formé d'un morphisme dans
et d'un morphisme dans
.
Ta réponse à 2) commence bien et termine mal : penses-tu qu'il y ait un morphisme injectif de dans
?
re-bonjour,
Posons , avec
à valeurs dans
et
à valeursdans
. Alors pour
, on obtient que
et donc
sont des multiples de ces nombres...
Mais ça ne m'avance pas beaucoup non ?
Pour la question 2 j'y reviendrais plus tard... 
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac