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Niveau doctorat
Sur un équation
Posté par krokes
Bonjour à tous,
Je bosse actuellement sur un petit résultat concernant une équation, j'aimerais votre avis sur l'énoncé de ce dernier et la démonstration.
Soit z appartient à R et représente les solutions de l'équation ci-dessus, n appartient au nombre entier impair et (a,b,c) ne prennent que la valeur 0 ou 1.
Alors, (4a+2b+n)/(c+1)=z implique qu'il existe une solution unique (a,b,c) pour z.
Démonstration :
Soit ,
2(4a+2b+n)/(c+1)=2(4a'+2b'+n)/(c'+1)
Si l'expression 2(4a+2b+n)/(c+1) est pair c=0 et si l'expression est impair alors c=1.
Donc c=c'
Donc, 2(4a+2b+n)=2(4a'+2b'+n) donc a+2b=a'+2b'
Si l'expression a+2b est pair alors a=0 et si l'expression est impair alors a=1.
Donc a=a'
Donc b=b' car on obtient a+2b=a+2b'
Donc 2(4a+2b+n)/(c+1)=2(4a'+2b'+n)/(c'+1) implique que (a,b,c)=(a',b',c')
Donc (4a+2b+n)/(c+1)=(4a'+2b'+n)/(c'+1) implique que (a,b,c)=(a',b',c') (et c'est là que j'ai un doute, la simple division par deux conserve l'implication précédente ?).
Donc si (4a+2b+n)/(c+1)=z, alors il existe une solution unique (a,b,c).
Voilà merci a vous !
* modération > le niveau a été modifié en fonction du profil renseigné *
Bonjour,
L'énoncé n'est pas clair :
A un moment il est question de z solution de l'équation ; à un autre moment, c'est (a,b,c).
Que veut dire "une solution unique (a,b,c) pour z" ?
Si z est dans 
, alors on ne peut rien dire sur la parité de z.
Sinon, avec a, b et c qui ne peuvent prendre que les valeurs 0 et 1, il n'y a que 8 cas à envisager.
Bonjour,
Merci pour votre réponse,
Oui tout à fait il y a un problème dans l'énoncé, en rectifiant j'obtiens cela : je ne sais pas si c'est mathématiquement correct.
Soit z appartient à R, n appartient au nombre entier impair et (a,b,c) ne prennent que la valeur 0 ou 1.
Alors, (4a+2b+n)/(c+1)=z implique qu'il existe une solution unique (a,b,c,z) pour pour tout n appartenant au nombre entier impairs.
Concernant la démonstration il est vrai qu'il faut préciser pour la parité, en rectifiant j'obtiens cela :
Démonstration :
On multiplie par 2 l'expression et on obtient :
2(4a+2b+n)/(c+1) qui appartient à l'ensemble des nombres entiers Z
Soit ,
2(4a+2b+n)/(c+1)=2(4a'+2b'+n)/(c'+1)
Si l'expression 2(4a+2b+n)/(c+1) est pair c=0 et si l'expression est impair alors c=1.
Donc c=c'
Donc, 2(4a+2b+n)=2(4a'+2b'+n) donc a+2b=a'+2b'
Si l'expression a+2b est pair alors a=0 et si l'expression est impair alors a=1.
Donc a=a'
Donc b=b' car on obtient a+2b=a+2b'
Donc 2(4a+2b+n)/(c+1)=2(4a'+2b'+n)/(c'+1) implique que (a,b,c)=(a',b',c')
Donc (4a+2b+n)/(c+1)=(4a'+2b'+n)/(c'+1) implique que (a,b,c)=(a',b',c') (et c'est là que j'ai un doute, peut on dire que la simple division par deux conserve l'implication précédente ?).
Si tel est le cas alors (4a+2b+n)/(c+1)=z, alors il existe une solution unique (a,b,c,z) pour tout n un nombre entier impair.
Il y a un problème au départ en parlant de parité pour un quotient dont on ne sait pas s'il est entier.
" z appartient à R" ne dit pas que z est un entier.
Bonjour,
Sylvieg @ 11-05-2022 à 13:33
Il y a un problème au départ en parlant de parité pour un quotient dont on ne sait pas s'il est entier.
" z appartient à R" ne dit pas que z est un entier.
Il y a un problème au départ en parlant de parité pour un quotient dont on ne sait pas s'il est entier.
" z appartient à R" ne dit pas que z est un entier.
C'est le cas où on a 2(4a+2b+n)/(c+1)=z et non pas (4a+2b+n)/(c+1)=z
Si (a,b,c) prennent la valeur 0 ou 1 et n un nombre entier impair alors
2(4a+2b+n)/(c+1) appartient à l'ensemble des nombres entiers relatifs car 4a+2b+n appartient à l'ensemble des nombres entiers relatifs.
Ensuite on montre avec la parité que 2(4a+2b+n)/(c+1)=2(4a'+2b'+n)/(c'+1) implique que (a,b,c)=(a',b',c') et j'aimerais savoir si ensuite on peut simplement diviser par deux et donc obtenir (4a+2b+n)/(c+1)=(4a'+2b'+n)/(c'+1) et affirmer du coup que [b](a,b,c)=(a',b',c')
Merci à vous !
krokes @ 11-05-2022 à 12:57
[b]Soit z appartient à R, n appartient au nombre entier impair et (a,b,c) ne prennent que la valeur 0 ou 1.
Alors, (4a+2b+n)/(c+1)=z implique qu'il existe une solution unique (a,b,c,z) pour pour tout n appartenant au nombre entier impairs. [/b]
Je n'arrive pas exprimer cela mathématiquement en fait je souhaiterais écrire que si on a (4a+2b+n)/(c+1)=z alors le triplet (a,b,c) qui donne z pour un n donné est unique dans le sens où deux combinaisons (a,b,c) ne donnent pas un même z.
[b]Soit z appartient à R, n appartient au nombre entier impair et (a,b,c) ne prennent que la valeur 0 ou 1.
Alors, (4a+2b+n)/(c+1)=z implique qu'il existe une solution unique (a,b,c,z) pour pour tout n appartenant au nombre entier impairs. [/b]
Je n'arrive pas exprimer cela mathématiquement en fait je souhaiterais écrire que si on a (4a+2b+n)/(c+1)=z alors le triplet (a,b,c) qui donne z pour un n donné est unique dans le sens où deux combinaisons (a,b,c) ne donnent pas un même z.
Partir de (4a+2b+n)(c'+1)=(4a'+2b'+n)(c+1).
4a+2b+n et 4a'+2b'+n sont impairs.
c+1 et c'+1 ont donc la même parité.
D'où c' = c.
4a+2b = 4a'+2b'.
Les valeurs possibles de 4a+2b sont 0, 2, 4 et 6 qui correspondent chacune à un couple (a,b) unique.
D'où a = a' et b = b'.
Travailler en base 2 peut être une autre piste.
J'ai compris la démonstration du premier message.
Je détaille ci-dessous le début :
Commencer par préciser que c+1 = 1 ou 2 ; donc 2(4a+2b+n)/(c+1) est un entier.
Si c = 0 alors 2(4a+2b+n)/(c+1) = 2(4a+2b+n) qui est pair.
Si c = 1 alors 2(4a+2b+n)/(c+1) = 4a+2b+n qui est impair.
D'où : si 2(4a+2b+n)/(c+1)=2(4a'+2b'+n)/(c'+1) alors c = c'.
OK pour la suite.
Sylvieg @ 11-05-2022 à 14:37
4a+2b = 4a'+2b'.
Les valeurs possibles de 4a+2b sont 0, 2, 4 et 6 qui correspondent .
4a+2b = 4a'+2b'.
Les valeurs possibles de 4a+2b sont 0, 2, 4 et 6 qui correspondent .
Peut on tout ne pas dénombrer les solutions 0,2,4,6 et simplement dire que si 4a+2b=4a'+2b' cela implique que 2a+b=2a'+b'
Et donc si l'expression 2a+b est pair alors b=0 et si l'expression est impair alors b=1.
Donc b=b'
Donc a=a' car on obtient 2a+b=2a'+b
Sinon merci pour votre réponse concernant la démonstration.
Ensuite concernant l'énoncé comment pourrai-je le rédiger de manière clair et mathématiques ?
Merci à vous !
Oui, j'ai écrit "OK pour la suite" 
Pour rédiger l'énoncé, je propose de ne pas parler de z :
Si on a (4a+2b+n)/(c+1) = (4a'+2b'+n)/(c'+1) alors (a',b',c') = (a,b,c)
Sylvieg @ 11-05-2022 à 14:59
Oui, j'ai écrit "OK pour la suite"
Pour rédiger l'énoncé, je propose de ne pas parler de z :
Si on a (4a+2b+n)/(c+1) = (4a'+2b'+n)/(c'+1) alors (a',b',c') = (a,b,c)
Oui, j'ai écrit "OK pour la suite"
Pour rédiger l'énoncé, je propose de ne pas parler de z :
Si on a (4a+2b+n)/(c+1) = (4a'+2b'+n)/(c'+1) alors (a',b',c') = (a,b,c)
Merci pour votre message !
Cela m'a bien aidé,
Le seul problème c'est que je dois inscrire ce résultat dans d'autres résultats qui utilisent z, pensez-vous que c'est faux d'écrire que si (4a+2b+n)/(c+1)=z alors il existe une unique solution (a,b,c,z). Ou avez-vous d'autres exemple d'énoncé ?
En tout cas merci pour votre intérêt !
salut
un énoncé (et sa rédaction) vraiment pas clair ...
krokes @ 11-05-2022 à 12:57
Soit z appartient à R, n appartient au nombre entier impair et (a,b,c) ne prennent que la valeur 0 ou 1.
Alors, (4a+2b+n)/(c+1)=z implique qu'il existe une solution unique (a,b,c,z) pour pour tout n appartenant au nombre entier impairs.
en doctorat (pas nécessairement de math même) on devrait se rendre compte que la phrase rouge n'est pas du français ...
Soit z appartient à R, n appartient au nombre entier impair et (a,b,c) ne prennent que la valeur 0 ou 1.
Alors, (4a+2b+n)/(c+1)=z implique qu'il existe une solution unique (a,b,c,z) pour pour tout n appartenant au nombre entier impairs.
soit z un réel, n un entier naturel impair et a, b et c trois nombres (entiers) prenant les valeurs 0 ou 1.
et vu le ce qui suit le alors la lettre z n'a rien à faire ici
et l'énoncé devrait être :
soit n un entier naturel impair et a, b et c trois nombres (entiers) prenant les valeurs 0 ou 1.
montrer que l'application
ensuite on peut éventuellement poursuivre en disant : on pose
on constate évidemment que z est un rationnel positif ...
et donc multiplier par 2 n'a aucun intérêt et parler de parité n'a pas de sens puisque z n'est pas nécessairement un entier ...
et ici comme le fait Sylvieg il est pertinent de travailler par disjonction de cas en traitant effectivement les cas c = 0 et c = 1
ensuite et seulement ensuite après être revenu à travailler avec des entiers alors on peut éventuellement évoquer des arguments de parité ...
même ce n'est même pas nécessaire car :
les numérateurs sont impairs (car n est impairs) donc pour avoir l'égalité il est nécessaire que c + 1 et c' + 1 aient même parité et donc aussi c et c'
or c et c' vivent dan {0, 1} donc c = c' ...
les numérateurs sont donc égaux aussi ... et montrer que a = a' et b = b' se démontre alors de même ...
carpediem @ 11-05-2022 à 20:01
salut
les numérateurs sont impairs (car n est impairs) donc pour avoir l'égalité il est nécessaire que c + 1 et c' + 1 aient même parité et donc aussi c et c'
...
salut
les numérateurs sont impairs (car n est impairs) donc pour avoir l'égalité il est nécessaire que c + 1 et c' + 1 aient même parité et donc aussi c et c'
...
Bonjour, merci pour votre réponse !!
Je n'arrive pas à mettre sur la main de la proposition qui démontre cela auriez-vous une petite preuve, même si je sais que c'est assez trivial et logique en soit...
Merci à vous !