Sur un nombre univers

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Sur un nombre univers
Posté par 
Alishisap  21-12-17 à 19:03
Bonjour à tous,

je vous propose une énigme concernant la constante de Champernowne.

Kesako ? Il s'agit d'un réel qui peut se construire comme suit :

- Il est compris dans [0;1[.

- Son développement décimal est la concaténation de tous les entiers naturels non nuls.

Elle est usuellement notée , mais ici nous l'appellerons seulement .

Donc 

C'est évidemment un irrationnel mais c'est en fait bien plus : il s'agit d'un nombre univers ! Cela signifie que  a la propriété de contenir n'importe quelle suite de nombre fini dans son développement décimal !

Par exemple, si on décidait de coder chaque lettre par un entier naturel, il serait possible de trouver l'intégralité de Notre-Dame de Paris (Victor Hugo) quelque part dans  (dans l'ordre et sans rien entre).

Vertigineux n'est-ce pas ? Nous allons jouer avec cette propriété. Ici nous seront cependant plus modestes qu'une œuvre entière. 

Nous décidons de coder chacune des 26 lettres de l'alphabet par un chiffre entre 0 et 9. On attribue 0 à A, 1 à B... 9 à J puis on recommence avec 0 à K, 1 pour L etc. Voici le tableau de correspondance :

0123456789
ABCDEFGHIJ
KLMNOPQRST
UVWXYZ////////////

Quand on code un mot, on ne prend évidemment pas en compte les accents et autres fantaisies. Ainsi, le mot "ÉCOLE" est codé par la suite de chiffres .

On appelle "première position" d'une suite de chiffres (ou d'un mot) dans  l'indice de la première occurrence de cette suite de chiffres (codée dans le cas d'un mot) dans le développement décimal de . On prendra pour référence l'indice du chiffre le plus à gauche.

Exemples
- La première position de la suite  est , en effet, C0,12345 et on voit que la suite "45"  apparaît à partir de la quatrième décimale et que c'est bien la première fois que cette suite apparaît.

- La première position  de la suite  est  car la suite "213" apparaît pour la première fois à partir de la quinzième décimale.

- La première position du mot "UN" est  car "UN" est codé par la suite  qui apparaît pour la première fois à la 51-ième décimale. Pour vous en convaincre :

C0,1234567891011121314151617181920212223242526272829303

ÉNIGME : déterminer la première position des mots " ÎLE " puis  " MATHS " dans .

Amusez-vous bien. 
 Posté par 
veledare : Sur un nombre univers  21-12-17 à 19:55
bonsoir,

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je ne sais pas si j'ai bien compris

ile est codée par 814

et je trouve que la première apparition de 814

est  148149  (  à partir de 148)

donc  la première position est l'indice  du8

merci pour cet exercice intéressant
 Posté par 
Alishisapre : Sur un nombre univers  21-12-17 à 20:14
Bonsoir veleda et merci de participer,

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Tu as bien compris la demande ! 
 Posté par 
royannaisre : Sur un nombre univers  21-12-17 à 20:32
Bonjour,

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Je propose 346 pour ile

je chercherai peut-être plus tard pour maths
 Posté par 
Alishisapre : Sur un nombre univers  21-12-17 à 20:44
Bonsoir royannais,

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Merci d'avoir participé !

C'est malheureusement faux, à partir de la 346-ième décimale le développement décimal de C est 
 Posté par 
veledare : Sur un nombre univers  21-12-17 à 21:31
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338 pour l'indice du 8 ?
 Posté par 
royannaisre : Sur un nombre univers  21-12-17 à 21:40
re- bonsoir

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Je pense avoir retrouvé mon erreur .

Je propose 336
 Posté par 
littleguyre : Sur un nombre univers  21-12-17 à 21:49
Bonjour,

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Pas sûr d'avoir bien compris. Je propose 336 et 93784. 
 Posté par 
Alishisapre : Sur un nombre univers  21-12-17 à 22:18
Bonsoir à tous,

avant de répondre, visiblement l'énoncé semble poser des soucis de clarté. Je vous recommande d'étudier les exemples, qui devraient en principe suffire pour lever les ambiguïtés. 

veleda :

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Raté de peu ! 

royannais :

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C'est la bonne réponse. 

littleguy :

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C'est bon pour "île".  En revanche, je trouve une réponse légèrement différente pour "maths"...
 Posté par 
littleguyre : Sur un nombre univers  21-12-17 à 22:33
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93780 plutôt
 Posté par 
Alishisapre : Sur un nombre univers  21-12-17 à 22:56
littleguy :

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C'est parfait. 
 Posté par 
dpire : Sur un nombre univers  22-12-17 à 08:36
Bonjour,

Pour trouver un roman ce doit être assez  long...

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j'ai déjà trouvé ILE à la 150 ème décimale   148149

je cherche MATHS  et je reviens
 Posté par 
dpire : Sur un nombre univers  22-12-17 à 09:05
Suite

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Pour MATHS soit 20978 ,je n'ai trouvé que  sa séquence propre
 Posté par 
Alishisapre : Sur un nombre univers  22-12-17 à 15:32
dpi :

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Merci de ta participation. 

Tes deux réponses sont fausses !

Par exemple, la 150-ième décimale nous amène à 
 Posté par 
Alishisapre : Sur un nombre univers  22-12-17 à 15:37
dpi (bis) :

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Je crois que je n'ai pas été clair quand je parlais de première position.

Par exemple, la première position de la suite "21" est bien 15 :

0,12345678910111213

En fait, la première position est donnée par l'indice du chiffre le plus à gauche de "21"... Qui se situe à la 15-ième décimale.
 Posté par 
dpire : Sur un nombre univers  22-12-17 à 16:53
Bonsoir 

Bien compris 
 Posté par 
dpire : Sur un nombre univers  22-12-17 à 17:19
suite

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J'avais donné une incrémentation par le rang sans tenir compte de la longueur

du nombre:

Cela me donne pour 814   336

pour 20978  93782
 Posté par 
Alishisapre : Sur un nombre univers  22-12-17 à 18:29
Bonsoir dpi,

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C'est correct pour le mot "île"  mais faux pour le mot "maths". 
 Posté par 
dpire : Sur un nombre univers  23-12-17 à 09:59
Bonjour

 24728 Alishisap   soit environ la 112632 ème
 Posté par 
Alishisapre : Sur un nombre univers  23-12-17 à 23:30
Bonsoir dpi,

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Pardonnes-moi mais je n'ai pas compris ta dernière réponse ? Si tu suggères que la première position du mot "maths" est 112632, c'est malheureusement encore faux (ta première réponse 93782 était plus proche).  
 Posté par 
dpire : Sur un nombre univers  24-12-17 à 08:50
Bonnes Fêtes

>Alishisap

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24728 = MERCI  soit autour de la 112632 ème décimale

J'hésite toujours à une ou eux près....

J'ai bâti un tableau qui me donne tous les nombres ,puis j'ai sommé

les chiffres qui les composent ainsi 20978 la première fois  à

sa place et cela donne autour de 93780. 
 Posté par 
Alishisapre : Sur un nombre univers  25-12-17 à 23:08
Bonsoir dpi et bonnes fêtes,

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C'est bien correct pour "maths" qu'on trouve à la 93780ème décimale ! 

Pour "merci" = 24728 mon programme  trouve sa première position à la  112 530ème décimale 

À cela je te réponds... 347843 (qu'on trouve à la 162 810ème décimale) !! 
 Posté par 
littleguyre : Sur un nombre univers  26-12-17 à 15:42
> Alishisap

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Bonjour, 

Pour ta dernière réponse concernant 347843, je trouve plutôt 1975948.

Ta réponse correspondrait plutôt à 34784, non ?

 Posté par 
Alishisapre : Sur un nombre univers  27-12-17 à 00:56
Bonsoir littleguy,

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La réponse à 347843 ne peut pas être 1 975 948.

Par exemple, 347843 peut être trouvé à cet endroit de C :

...34783 34784 34785...

Il s'agit donc de trouver la première position de la séquence propre de 34784 qui se trouve en faisant cette somme :

9 (place occupée pour les nombres à 1 chiffre)

+ 2*(99-10+1) (idem pour 2 chiffres)

+ 3*(999-100+1) (3 chiffres)

+ 4*(9999-1000+1) (4 chiffres)

+ 5*(34783-10000+1) (nombres à 5 chiffres entre 10000 et 34783 inclus)

+ 1 (pour atterrir sur la bonne décimale après 34783)

Ce qui nous amène à la 162 810ème décimale. Ça ne prouve pas formellement que la première position de 347843 est celle-là, mais ça prouve qu'elle ne peut pas être au-dessus.

Par ailleurs, mon programme me confirme que ça ne se trouve pas avant la 162 810ème décimale... 
 Posté par 
Alishisapre : Sur un nombre univers  27-12-17 à 00:58
Re-bonsoir littleguy,

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Et de fait oui, en réalité je pense que la première position de 347843 est exactement égale à la position de la séquence propre de 34784.  
 Posté par 
dpire : Sur un nombre univers  27-12-17 à 09:18
DE RIEN

La démonstration est faite que ce codage est très long

pour des mots  de plus de  6 lettres ,surtout  que les choix

multiples de candidats  ( 2 ou 3)exigent encore un effort de réflexion..

2014 = MALE  ou CUVE 

 Posté par 
littleguyre : Sur un nombre univers  27-12-17 à 10:06
> Alishisap

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Oui, tu as raison. J"avais fait une lecture un peu superficielle... 
 Posté par 
Alishisapre : Sur un nombre univers  05-01-18 à 16:36
Bonjour à tous, 

il est temps de vous proposer une correction. 

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Le mot "ÎLE", codé par la suite , se trouve pour la première fois à la décimale . 

Voici l'endroit de C où elle se trouve :

C = ...147 148 149...

Le mot "MATHS", codé par  se trouve pour la première fois à la décimale .

Voici l'endroit de C où elle se trouve :

C = ...20977 20978 20979...

Pour trouver la réponse, on pouvait par exemple utiliser un programme informatique.

Néanmoins, je vous propose ici un raisonnement qu'on peut faire à la main.

La suite 814 possède 3 chiffres différents, donc l'endroit où on peut la trouver dans C est au-delà des nombres à 2 chiffres. C'est-à-dire qu'on ne la trouvera nul part à cet emplacement de C : 1234567...979899.

Ensuite, On peut chercher les fois, parmi les nombres à 3 chiffres, où apparaissent la suite . On a donc dans l'ordre :

108 109

118 119

128 129

138 139

148 149

C'est donc cette dernière position qui est la bonne et qu'on doit  déterminer.

Les nombres de 1 à 9 occupent une place de 9 décimales.

Les nombres à 2 chiffres occupent 2*(99-10+1) = 180 décimales.

Enfin, les nombres à 3 chiffres de 100 à 147 occupent 3*(147-100+1) = 144 décimales.

Si on somme, on trouve que les entiers de 1 à 147 occupent 9+180+144 = 333 décimales.

Cela signifie qu'à la 334-ième décimale on se trouve à 148149...

Donc pour trouver le 814 il faut incrémenter de 2 décimales.

Ce qui prouve que la première position de 814 se situe à la 336-ième décimale.

On peut effectuer le même raisonnement pour la suite 20978.

En effet, les 5 chiffres le composant sont tous différents, montrant qu'il faut regarder à partir des entiers à 5 chiffres.

Puis on montre que la suite 20978 se trouve pour la première fois ici :

...20977 20978 20979...

On remarque par ailleurs que la première position de la suite 20978 correspond exactement à la seule fois où apparaît l'entier 20978 à la construction de C (ce qui n'était pas le cas pour 814 qui apparaît pour la première fois avant 814 815 816...).

Et de même, on calcule la place que prend tous les entiers précédant 20978 :

À 1 chiffre : 9

À 2 chiffres : 180

À 3 chiffres : 3*(999-100+1) = 2700

À 4 chiffres : 4*(9999-1000+1) = 36000

À 5 chiffres, entre 10000 et 20977 : 5*(20977-10000+1) = 54890

Donc en sommant, les entiers de 1 à 20977 occupent 93779 décimales.

Cela prouve que la première position de 20978 se situe à la 93780-ième décimale.

Merci à tous pour votre participation. 
  Posté par 
Alishisapre : Sur un nombre univers  05-01-18 à 17:05
Bravo à littleguy et dpi qui ont fini par trouvé les deux bonnes réponses, et à royannais qui a trouvé bon pour la première réponse. 

Mention honorable pour veleda qui n'était pas loin du tout pour la première réponse !