Niveau Reprise d'études-Ter

Sur une dérivée composé je ne trouve pas le même résultat

Posté par
hbx360 28-10-23 à 19:56

Bonjour,

J'ai la fonction suivante :

$f(x) = \sqrt{(1+x)^3}$

Dans le corrigé de l'exercice voici comment il calcule la dérivée :

$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{1+x)^3}}*((1+x)^3)' = \dfrac{3(1+x)²}{2\sqrt{1+x}} = \dfrac{3}{2}(1+x)\sqrt{1+x}$

Mais je n'arrive pas à comprendre comment il arrive à ce résultat car si je fais le calcul de la dérivée :

$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{1+x)^3}}*((1+x)^3)' = \dfrac{3(1+x)²}{2\sqrt{(1+x})^3} = \\ \\ \dfrac{3(1+x)²}{2\sqrt{(1+x)^2}\sqrt{1+x}}=\dfrac{3(1+x)²}{2|1+x|\sqrt{1+x}} \\ \\ Comme ~ x >-1 ~ alors ~ |1+x| = 1+x ~ donc : \\ \\ \dfrac{3(1+x)²}{2|1+x|\sqrt{1+x}} = \dfrac{3(1+x)²}{2(1+x)\sqrt{1+x}} = \dfrac{3(1+x)}{2\sqrt{1+x}} = \dfrac{3(1+x)}{2\sqrt{1+x}}*\dfrac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}} = \\ \\ \dfrac{3(1+x)\sqrt{1+x}}{2(1+x)} = \dfrac{3}{2}*\sqrt{1+x}$

Comme constaté dans mon calcul je ne retrouve pas le 1+x pourriez-vous me dire ou j'ai fait une erreur ?

Merci.

Posté par re : Sur une dérivée composé je ne trouve pas le même résultat 28-10-23 à 20:01

salut

c'est bien compliqué ...

tout d'abord remarquer qu'un nombre et son cube ont même signe (d'après la règle des signes) donc les valeurs absolues sont inutiles

ensuite dans le corrigé il semble raisonnable de penser qu'il a été oublié de mettre le cube dans la racine carré du dénominateur

enfin pour vérifier ton calcul alors remarquer que $f(x) = \qrt {(1 + x)^3} = (1 + x) \sqrt {1 + x}$ (toujours d'après la règle des signes)

et dérivée ce produit pour le comparer aux deux réponses

Posté par re : Sur une dérivée composé je ne trouve pas le même résultat 28-10-23 à 20:03

carpediem @ 28-10-2023 à 20:01

enfin pour vérifier ton calcul alors remarquer que $f(x) = \red \sqrt {(1 + x)^3} = (1 + x) \sqrt {1 + x}$ (toujours d'après la règle des signes)

Posté par re : Sur une dérivée composé je ne trouve pas le même résultat 28-10-23 à 20:47

Bonsoir.
Juste cette parenthèse.

Tu n'as pas fait d'erreur. Surtout n'hésite pas à utiliser des logiciels de calcul formel pour vérifier tes résultats si tu as un doute (ici geogebra).

De plus, vu que tu as un niveau "supérieur", tu peux te rappeler que la formule $(x^a)'=ax^{a-1}$ fonctionne aussi avec $a \in \mathbb{R}$ . Même si la définition des fonctions puissances n'est plus au programme de T^le, ce qui est dommage , ça permet de savoir à quel résultat tu dois arriver . Et c'est très utilisé en physique.

Ici c'est simple: $f(x)=(1+x)^{3/2} \Rightarrow f'(x)=3/2 \times (1+x)^{1/2}$

Sur une dérivée composé je ne trouve pas le même résultat

Posté par re : Sur une dérivée composé je ne trouve pas le même résultat 28-10-23 à 22:59

Merci fabo34, carpediem pour vos réponses.
Je ne savais pas que geogebra faisait ce type de calcul.
Donc c'est bien un oublie de l'auteur.
Je trouve que dans se livre il y a pas mal d'erreur dommage.

Posté par re : Sur une dérivée composé je ne trouve pas le même résultat 29-10-23 à 08:51

Oui, ça arrive qu'il y ait des erreurs.Il y a souvent un mail de contact où on peut les signaler. Généralement ils corrigent, et c'est rapidement pris en compte pour les corrigés qu'on peut trouver "en ligne"). Pour les imprimés, c'est plus compliqué.
Vas-y balance: c'est quoi ton livre?

Posté par re : Sur une dérivée composé je ne trouve pas le même résultat 31-10-23 à 17:46

Le titre c'est : Maths de la terminal S à la prépa scientifique de Nicolas Nguyen de chez l'éditeur Ellipse.

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