Bonjour,

Je pense que cela va faire phosphorer ...

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En vertu de la loi des cosinus il faut leur trouver des valeurs avec peu de décimales  genre  0.95 ou 0.85 telles que  par exemple :
a²+10²-20acosC soit un carré
J'ai trouvé quelques valeurs que je dois assembler

Bonjour

J'ai essayé en tâtonnant , je pensais l'avoir mais il y a quelques décimales qui frottent

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Un autre essai qui semble plus prometteur :

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Bonsoir
Après d'infâmes calculs...

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[blank]L'aire du jardin est  103.92305 m²

Bon , ça marche , la vérification est facile avec la formule de Héron . Il reste à montrer que la solution est unique .

Imod

@Dpi , si on veut la valeur exacte :

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@Dpi : D'infâmes calculs ça ne veut pas dire grand chose . Par quel moyen obtiens-tu l'aire , tu calcules tous les côtés du triangle ABC ? Si oui , comment ? En essayant à la main , on trouve pas mal de solutions approchées ( et même parfois très proches ) . Je ne vois pas comment on peut repérer les entiers en travaillant avec des valeurs approximatives des variables .

Imod

@dpi je demande la valeur exacte. Ta méthode le permet-elle?
@Imod il y a plusieurs réponses si on n'utilise pas la dernière indication: l'angle en B est légèrement obtus

J'ai vu cet exercice il y a quelques jours, et il me semble qu'on avait un autre indice : si on note M le point d'intersection des 2 allées, les 4 segments partant de M étaient des entiers.

@ty59847 Si on l'a vu au même endroit, il y avait également la longueur BC de donnée. J'ai voulu complexifier le problème...

je suis parti de mon idée

BC²=100+EC²-20cosC
En testant BC (11;12;13;14)  qui me paraissaient les bons candidats entiers. puis  EC (2 3 4 5 6 7 8 )
Tout cela compatible avec les angles de la figure donnée
ce qui m'a donné par exemple    12 10 4  ou 13 10 7
J'ai fait pareil pour les autres avec  x²=y²+225-30cosz
Et j'ai cherché en assemblant pour que cela fonctionne...
J'y ai passé 4 heures.

Je n'ai pas trouvé le raisonnement permettant d'aller directement  à la solution

Pour l'aire j'ai appliqué la formule de Héron

J'aimerais bien voir d'autres solutions au problème avec ou sans l'hypothèse supplémentaire que l'angle B est légèrement obtus . La vérification est immédiate avec la formule de Héron : A(ACD)+A(BCD)=A(ABE)+A(BCE)=A(ABC) .

On voit par exemple que le premier exemple que j'ai proposé ne marche pas bien .

Imod

salut,
pour les faineants ou pour verifier ses calculs

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avec Xcas>Nouvelle figure 2d

B:=point(0);C:=point(13);;
c1:=cercle(B,16);c2:=cercle(C,21);;
simplifier(longueur(A,B));simplifier(longueur(A,C));;
A:=inter_unique(c1,c2);
triangle(A,B,C);
c3:=cercle(B,10);c4:=cercle(C,15);;
E:=inter_unique(c3,droite(A,C),C);// attention A ou C en troisieme argument;
D:=inter_unique(c4,droite(A,B));;
simplifier(longueur(B,E));simplifier(longueur(C,D));;
simplifier(longueur(B,D));simplifier(longueur(C,E));;
aire(triangle(A,B,C));

@Imod Sans l'angle obtus, il me semble que j'en avais trouvé d'autres. Je n'ai pas mes notes sous les yeux mais de mémoire, je crois même qu'avec l'angle B égal à 90° on en trouve une.

je confirme !

En effet et les calculs se font à la main , on retrouve deux fois le triangle 3-4-5 .

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En fait les dimensions du triangle ABC sont bornées , il y donc un nombre fini de solutions au problème ( sans l'indice ) . Il serait amusant de les lister .

Imod

Bonjour
Avec un petit programme informatique on peut dire qu'avec l'angle B obtus il n'y a que la solution donnée par Imod. En changeant les données (jusqu'à 20) on a une solution avec 16 & 12, avec 17 & 11, avec 18 & 11, avec 18 & 13 et avec 20 & 13.

Bonjour Derny

Jarod a fourni un dessin accompagné de lettres qui permettent de savoir de quoi on parle . Pourrais-tu préciser les longueurs représentées par les valeurs que tu donnes et les valeurs entières des autres grandeurs .

Merci d'avance

Imod

Voici

On demande et on nous répond avec la manière : on est bien sur cette petite île

Imod

OUI

D'accord , tu modifies la taille de [CD] , ce qui ne répond pas vraiment à la question que je posais .

Imod

Bonjour Imod et à tous.
J'ai déjà répondu à ta question en disant qu'il n'y a qu'une solution avec 15 et 10.
Je n'ai pas été plus loin que 20 pour CD. Peut-être qu'au-delà on aurait plus d'une solution pour certains CD.

Je me suis mal fait comprendre , dans le problème initial de Jarod , l'angle obtus n'est pas une donnée mais une indication ajoutée à posteriori . Je me demande ce qu'il en est si on supprime cette indication .

Imod

Quelques valeurs

On retrouve les deux solutions déjà obtenues avec les données initiales , une avec un angle obtus et une avec un angle droit mais aucune avec un angle aigu .

Imod

Avec CD=15 et BE=10 on a un angle obtus et un angle droit en effet.
En allant de 10 à 20 pour CD et BE il y a 181 solutions dont 11 avec un angle obtus et 6 avec un angle droit. Sur ces 6 solutions à angle droit seule une n'est pas "3,4,5" mais "15,8,17".

En bref , toujours pas de réponse à la question : existe-t-il un triangle ABC acutangle avec CD=15 , BE=10 et AD , DB , BC , AE , EC entiers ? Si la réponse est oui , il restera à les compter .

Imod

Bonjour
Imod, il me semble que j'ai répondu.

Tu veux sans doute dire qu'il n'y a pas de solution avec un triangle acutangle pour les données initiales et tu fais référence à