Bonjour à tous.
un défi dû à mon frère lycéen : il s'agit de déterminer l'aire de la surface coloriée ci-dessous, délimitée par 3 arcs de cercles inscrits dans un carré de côté 1.
Plus que le résultat en lui-même (vous comprendrez vite que c'est assez atroce à calculer), ce sont vos méthodes de résolution qui sont intéressantes.
À titre purement indicatif, voilà la réponse finale calculatoire :
Bonsoir !
Le principe ne semble pas terrible !
Le demi-cercle centré sur l'axe réel a pour équation polaire :
On a donc un paramétrage simple.
Le demi-cercle centré sur l'axe des ordonnées a pour équation polaire : même remarque.
Quant au quart de cercle son équation polaire est .
Les aires consistent à calculer les intégrales de .
le plus emm... est évidemment de déterminer les limites !
Pas le temps de finir, j'y reviendrai.
Bonjour,
moi je ferais ça "niveau lycée"
l'aire cherchée est celle du triangle OAE
plus l'aire des segments de cercles "exterieurs"
et moins l'aire du segment de cercle "intérieur"
tout ça se calculant "assez facilement", même si c'est pénible, à partir des angles et des longueurs
Désolé pour avoir oublié de cacher mon début de solution !
J'obtiens la formule d'où la valeur approchée à diviser par 4 puisque j'ai pris un carré de côté 2 : soit finalement .
J'aimerais bien savoir où Wolfram a trouvé cet "Arctg" sophistiqué !
Pour les détails :
L'équation du demi-cercle à gauche est .
Celle du quart de cercle est
En combinant les deux équations on montre que les solutions sont sur .
En remplaçant dans on obtient
D'où l'on déduit
Le point d'intersection est donc relativement simple : (2/5,4/5). Les intégrales le sont moins:
On a donc
Je pense que la fraction dans ton atan est une valeur approchée basée sur les fractions continues.
avec Xcas
la figure dans un ecran de geo 2d:
A,B:=point(0),point(1);
carre(A,B,C,D);
c1:=cercle(1/2,1/2);c2:=cercle(i/2,1/2);c3:=cercle(1,1);;
E:=inter_unique(c2,c3);
les calculs:
equation(c1);s1:=solve(equation(c1),y)[0]
equation(c2);s2:=solve(equation(c2),y)[0]
equation(c3);s3:=solve(equation(c3),y)[0]
S:=int(s3,x,0,2/5)-int(s1,x,0,2/5)+int(s2,x,2/5,1/2)-int(s1,x,2/5,1/2)
approx(S)
simplifier(S)
la derniere commande renvoie:
Bonjour,
Je suis parti des aires des segments circulaires:
a) entre grand cercle et petit cercle
(R²(téta-sintéta))/2 + (r²(suptéta-sinsuptéta))/2=0.2404348
b)entre petits cercle
r²(/2-sin/2)=0.1426991
et a-b =0.0977357
Vous devez être membre accéder à ce service...
Pas encore inscrit ?
1 compte par personne, multi-compte interdit !
Ou identifiez-vous :