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Surface encerclée

Posté par
Alishisap
16-05-19 à 18:43

Bonjour à tous.

un défi dû à mon frère lycéen : il s'agit de déterminer l'aire de la surface coloriée ci-dessous, délimitée par 3 arcs de cercles inscrits dans un carré de côté 1.

Surface encerclée

Plus que le résultat en lui-même (vous comprendrez vite que c'est assez atroce à calculer), ce sont vos méthodes de résolution qui sont intéressantes.

À titre purement indicatif, voilà la réponse finale calculatoire :

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Posté par
luzak
re : Surface encerclée 16-05-19 à 19:01

Bonsoir !
Le principe ne semble pas terrible !

Le demi-cercle centré sur l'axe réel a pour équation polaire : \rho=2\cos\theta
On a donc un paramétrage simple.

Le demi-cercle centré sur l'axe des ordonnées a pour équation polaire \rho=2\sin\theta : même remarque.

Quant au quart de cercle son équation polaire est \rho=4\cos\theta.

Les aires consistent à calculer les intégrales de 2\cos^2\theta,\;2\sin\theta\,\cos\theta,\;8\cos^2\theta.

le plus emm... est évidemment de déterminer les \theta limites !

Pas le temps de finir, j'y reviendrai.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Surface encerclée 16-05-19 à 19:43

Bonjour,
moi je ferais ça "niveau lycée"
l'aire cherchée est celle du triangle OAE
plus l'aire des segments de cercles "exterieurs"
et moins l'aire du segment de cercle "intérieur"

Surface encerclée

tout ça se calculant "assez facilement", même si c'est pénible, à partir des angles et des longueurs

 Cliquez pour afficher

j'en resterai là, n'ayant pas envie de développer tout ça ...
(bardé de trigo et de racines carrées)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Surface encerclée 16-05-19 à 23:09

toutefois ... :

 Cliquez pour afficher

Posté par
luzak
re : Surface encerclée 17-05-19 à 08:28

Désolé pour avoir oublié de cacher mon début de solution !

J'obtiens la formule 1+\dfrac{3\pi}2-3\alpha-\dfrac52\sin(2\alpha),\;\alpha=\arctan(2) d'où la valeur approchée 0,390942827 à diviser par 4 puisque j'ai pris un carré de côté 2 : soit finalement 0,097735707.

J'aimerais bien savoir où Wolfram a trouvé cet "Arctg" sophistiqué !

Pour les détails :

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Posté par
LittleFox
re : Surface encerclée 17-05-19 à 10:25


L'équation du demi-cercle à gauche est C_1 \equiv x²+(y-\frac{1}{2})² = (\frac{1}{2})² \equiv x²+y²-y = 0 .
Celle du quart de cercle  est C_2 \equiv (x-1)²+y² = 1² \equiv x²+y²-2x = 0

En combinant les deux équations on montre que les solutions sont sur x²+y²-y - (x²+y²-2x) = 0 \equiv y = 2x.
En remplaçant y dans C_2 on obtient x²-2x+(2x)² = 0 \Rightarrow x(5x-2) = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5}
D'où l'on déduit y = 2x = \frac{4}{5}

Le point d'intersection est donc relativement simple : (2/5,4/5). Les intégrales le sont moins:

On a donc A = \int_0^{2/5} \sqrt{1²-(x-1)²} dx + \int_{2/5}^{1/2} \frac{1}{2} + \sqrt{(\frac{1}{2})²-x²}dx - \int_0^{1/2}\sqrt{(\frac{1}{2})²-(x-\frac{1}{2})²} dx \\ = \frac{1}{20} + \int_0^{2/5} \sqrt{x(2-x)} dx + \int_{2/5}^{1/2} \sqrt{\frac{1}{4}-x²}dx - \int_0^{1/2}\sqrt{x(1-x)} dx \\
 \\ = \frac{1}{20} -\frac{6}{25}+\frac{\pi}{2}-tg^{-1}(2) -\frac{3}{50} + \frac{\pi}{16}-\frac{sin^{-1}(4/5)}{8}- \frac{\pi}{16}  \\
 \\ = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4} - tg^{-1}(2) - \frac{sin^{-1}(4/5)}{8}
 \\ \approx 0.09773570675060461

Je pense que la fraction dans ton atan est une valeur approchée basée sur les fractions continues.

Posté par
alb12
re : Surface encerclée 17-05-19 à 14:08

avec Xcas
la figure dans un ecran de geo 2d:

A,B:=point(0),point(1);
carre(A,B,C,D);
c1:=cercle(1/2,1/2);c2:=cercle(i/2,1/2);c3:=cercle(1,1);;
E:=inter_unique(c2,c3);

les calculs:

equation(c1);s1:=solve(equation(c1),y)[0]
equation(c2);s2:=solve(equation(c2),y)[0]
equation(c3);s3:=solve(equation(c3),y)[0]
S:=int(s3,x,0,2/5)-int(s1,x,0,2/5)+int(s2,x,2/5,1/2)-int(s1,x,2/5,1/2)
approx(S)
simplifier(S)

la derniere commande renvoie:


 \\ \dfrac{3}{16}\cdot \pi +\dfrac{3}{8} \mathrm{atan}\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{3}{8} \mathrm{atan}\left(2\right)+\dfrac{-1}{4}
 \\

Posté par
alb12
re : Surface encerclée 17-05-19 à 14:18

que l'on peut simplifier en :


 \\ -\dfrac{3}{4} \cdot \mathrm{atan}\left(2\right)+\dfrac{3}{8} \cdot \pi +\dfrac{-1}{4}
 \\

Posté par
dpi
re : Surface encerclée 17-05-19 à 15:03

Bonjour,

Je suis parti des aires des segments circulaires:
a) entre grand cercle et petit cercle
(R²(téta-sintéta))/2  + (r²(suptéta-sinsuptéta))/2=0.2404348
b)entre petits cercle
r²(/2-sin/2)=0.1426991
et a-b =0.0977357

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Surface encerclée 19-05-19 à 20:59

Bonjour,
Je trouve (1/4) Arcos(1/5) + Arcos(2/5) - 1/4 - /8 0,0977357068



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