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Surface et volume
bonjour, dans le cadre de notre TPE, nous avons besoin de calculer le volume de différentes figures pour une surface donnée (qui est 50cm²). Mais nous bloquons pour calculer l'aire d'un tétraèdre, d'un octaèdre et d'un dodécaèdre. Serait-il possible d'avoir un peu d'aide ? Merci beaucoup.
Pour le tétraèdre, j'ai trouvé un côté égale à 5,372849659 pour une surface de 50cm², mais comment calculer son volume?
Bonjour,
L'aire d'un tétraèdre, d'un octaèdre et d'un dodécaèdre.
Je suppose plutôt que tu parles d'un tétraèdre, octaèdre et dodécaèdre régulier !!
Un tétraèdre régulier possède 4 faces, et ses faces sont tous des triangles équilatéraux !
Donc si tu sais calculer l'aire d'un triangle équilatéral, tu n'auras aucun mal à calculer l'aire d'un tétraèdre régulier...
De même, l'octaèdre régulier possèdes 8 faces dont ses faces sont des triangles équilatéraux.
Quant au dodécaèdre régulier, c'est un peu plus compliqué, il possède 12 faces dont ses faces sont des pentagones réguliers.
Dont il faut calculer l'aire d'un pentagone régulier.
Bonjour, oui ils sont réguliers. J'ai donc trouvé un volume de environ 18.27 cm^3 pour le tétraèdre. Est- ce bon? Je vais désormais faire l'octaèdre. Je peux vous envoyer ma démonstration si vous le souhaitez
Pour le tétraèdre, j'ai trouvé un côté égale à 5,372849659 pour une surface de 50cm², mais comment calculer son volume ?
C'est ok.
En effet, on démontre (je ne vais pas le faire) que l'aire d'un tétraèdre régulier est égale à :
Et en résolvant l'équation
Pour le volume, l'idée est bien sûr de partir de la formule d'un tétraèdre :
Et on démontre par calcul (je ne vais pas le faire non plus...) que le volume d'un tétraèdre régulier est donnée par :
Bonjour, oui ils sont réguliers. J'ai donc trouvé un volume de environ 18.27 cm^3 pour le tétraèdre. Est- ce bon? Je vais désormais faire l'octaèdre. Je peux vous envoyer ma démonstration si vous le souhaitez
Avec la formule du volume que je viens de citer, oui, on trouve bien env. 18.27 cm3 pour le tétraèdre régulier.
Très bien, y'a pas de souci.
L'aire d'un octaèdre régulier ne devrait pas être trop dur à calculer, c'est tout simplement le double de l'aire d'un tétraèdre régulier... (en effet 2 fois plus de faces...)
Hélas, non !!
Si on double l'aire d'une surface, son volume ne sera pas multiplié par 2 !! Mais par 4 !!
Bonjour,
le volume d'une surface je demande à comprendre ...
c'est pas clair du tout cette formulation.
si on double l'aire d'un solide pour obtenir un solide de même forme :
ses dimensions sont multipliées par
et son volume par
si on double l'aire d'un solide en obtenant un solide de forme différente c'est imprévisible.
de toute façon ici on ne double pas l'aire vu qu'elle est toujours la même = 50 cm² !!
en fait il faut à partir de l'aire totale calculer l'aire d'une face au coup par coup (facile c'est juste diviser par le nombre de faces)
puis calculer l'arête (au coup par coup, chaque formule est différente)
en fait ici il n'y a que deux formules :
celle d'un triangle équilatéral et celle d'un pentagone
c'est sans doute cela que voulait dire fenamat84 :
au lieu de 4 faces triangulaires il y en a 8 donc l'aire d'une face est divisée par 2
et donc l'arête de l'octaèdre est égale à l'arête du tétraèdre de même aire divisée par
quant au volume ... bof il n'a aucun rapport.
et il n'est certainement pas multiplié par 4 !!
puis calculer le volume (au coup par coup chaque formule est différente)
et ce n'est exclusivement que ça qui permettra de conclure.
en fait cet exo est un peu loufoque à ce niveau (mais bon, c'est pas un exo c'est un TPE !!) car le volume d'autre chose que des tétraèdres (des pyramides) et des cubes (des parallélépipèdes rectangles et des prismes) est par des formules totalement inconnues à ce niveau.
il faut donc fabriquer de toute pièces des formules (pas facile du tout) ou les pomper sur Internet
principe de calcul d'une formule donnant l'aire d'un polygone régulier quelconque en fonction de son côté :
en le découpant en triangles de sommet commun le centre du polygone, avc la trigo.
(ou cela donne le côté en fonction de l'aire et du nombre de côtés)
pour le volume d'un polyèdre :
en le découpant en pyramides de sommet le centre du polyèdre
et cela donne aussi une formule avec le nombre de faces et le nombre d'arêtes par face dedans
la conclusion attendue est :
le volume d'un solide de forme quelconque et de surface donnée est maximal lorsque ce solide est une sphère
le polyèdre qui aura le plus grand volume pour une aire donnée sera donc celui qui se rapproche le plus d'une sphère,
on peut donc prévoir que à surface égale, les volumes seront
tétraèdre < cube < octaèdre < dodécaèdre < icosaèdre < sphère
(icosaèdre = 20 faces triangulaires, il n'existe que ces 5 polyèdres réguliers là)
pour vérifier cette conjecture, seul le calcul effectif de chacun des volumes le dira...
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