bonsoir

cet énoncé n'a aucun sens

fof^-1 s'applique à des ensembles et pas à des éléments de F, donc ne peut en aucun cas être Id_F

par ailleurs la phrase "f^-1 désigne ici l'image réciproque" est totalement dénuée de sens

ce serait bien d'avoir le libellé exact de l'énoncé ...

malou effectivement, monsieur est spécialiste des énoncés folkloriques...

bref ... cet énoncé n'a aucun sens

à la rigueur avec Id_P(F) en définissant bien les notations.

Exercice:

Soit une application f : EF. Montrer

                 f est injective si et seulement si f^-1o f = idE

                 f est surjective si et seulement si f o f^-1 = idF

Remarque: f^-1 désigne ici l'image réciproque et non la bijection réciproque.
_______________________________
id_F correspond à "identité de F" ( l'image d'un point de F est-lui -même sauf que ça c'est dans mon cours)

Voici l'exercice en entier, je vous aurai bien envoyé une image mais c'est interdit. Il n'y a ni plus ni moins. Si vous n'êtes pas satisfait dans ce cas c'est à mon enseignant qu'il faut s'en prendre et non à moi.
De plus, il est vrai que j'ai crée un sujet sur l'injectivité mais cela ne veut pas dire que j'ai compris. Ca m'ennuie d'embêter des gens trop  longtemps puisque que je n'arrive pas à faire le moindre exercice même avec de l'aide donc par politesse je leur dis que j'ai compris. Je sais que ce n'est pas la bonne méthode mais je suis comme ça.

Merci de votre attention

Bonjour
si l'énoncé est libellé ainsi, j'ai bien peur que ton enseignant n'ait pas bien compris lui non plus ....

Si f est une "fonction" de l'ensemble X vers m'ensemble Y [ ce qui veut dire que f est un "application " d'une partie de X (que d'aucuns appellent " domaine de définition " de f et notent D(f)   ]vers l'ensemble Y   on définit  f^-1 comme l'application de P(Y) vers P(X) qui à V   Y  fait correspondre  { x X D(f) │ f(x) V } élément de P(X) noté évidemment  f^-1(V) .
Lorsque V est un singleton { b } on écrit  f^-1(b) au lieu de f^-1({b}.

On peut aussi prolonger f en une " application" de P(X) vers P(Y) .  C'est  A f(A D_f)

.Dans ces conditions ,  f o f^-1 existe  : c'est l'application B f (D_f   f^-1 (B)) .
Id_Y (prolongée à P(Y) et   f o f^-1 étant dans le même ensemble  P(Y)^P(Y) on peut donc se demander si elles ne sont pas égales comme dans le cas où f est une bijection de X sur Y .
Comme  pour tout B Y on a f (f^-1(B)) = B  , ça marche !

il est vrai que je suis allé un peu vite dans la première implication

Si f surjective :

Pour toute partie B de F on a

f(f-1(B)) = f({xE ; f(x)B}) B

et si vB il existe uE tel que f(u)=v

et donc u{xE ; f(x)B}

et donc vf({xE ; f(x)B})

ce qui prouve B f(f-1(B))

et donc finalement f(f-1(B)) = B

on est donc d'accord qu'il faut remplacer le de l'énoncé par ?

   Mais  , f étant une application de X vers Y , il  n'y a pas de notation spéciale adoptée par tout le monde , pour désigner  son prolongement à P(X) . On le note encore f .

le problème n'est pas la notation de la fonction, mais les ensembles de départ et d'arrivée.

là on considère des applications entre P(E) et P(F)

C'est vrai que c'est moins choquant de continuer à appeler l'application induite par sur P(E) que de continuer à appeler l'application induite par sur P(F )....