Bonjour tlm, j'ai un devoir à rendre pour ce jeudi, et il y
a un exo auquel je suis bloqué.
J'ai réussi à commencer le debut, mais je ne sais pas si c'est bon
du tout.
Un camarade m'a dit qu'il fallait trouvé le "minorant" (?)
mais je ne sais pas du tout comment faire car g raté ce cours.
Une explication en détail me serait vraiment utile et je vous remercie
d'avance pour votre aide.
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Une ficelle de 1m est coupée en 2 morceaux.
Avec l'un des morceaux, qui est "x", on forme un carré et avec
l'autre morceau, un cercle.
A quel endroit doit on couper la ficelle pour que la somme des aires
des 2 domaines obtenus soit maximale?
MA REPONSE ---------
périmètre du carré = x = 4c
donc c = x/4
aire carré = x²/16
périmètre cercle = 1 - x = 2 pi * rayon
donc rayon = (1-x) / 2pi
aire cercle = pi * r² = pi (1-x)² / 4 pi² = (1 - x )é / 4pi
la somme des aires = f(x) = x²/16 + (1-x)² / 4 pi²
= pi² + 4(1-2x+x²) / 16pi
= 1/16 [ (4+pi) x² - 8x +4 ]
Presque juste.
Le début est correct, après :
aire cercle = pi * r² = pi (1-x)² / 4 pi² = (1 - x )² / 4pi
la somme des aires = f(x) = x²/16 + (1-x)² / 4 pi
= (1/(16Pi)) . (Pi.x² + 4(1+x²-2x))
= (1/(16Pi)) . [x²(Pi+4) -8x + 4]
L'aire totale sera maximum en même temps que la fonction
f(x) = x²(Pi+4) -8x + 4 pour x compris dans [0 ; 1]
Il suffit donc de trouver la valeur de x qui rend f(x) maximum.
Si tu as appris les dérivées: (sinoin voir autre méthode plus bas)
f '(x) = 2x(Pi+4) - 8
f '(x) < 0 pour x dans [0 ; 4/(Pi+4)] -> f(x) décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 4/(Pi+4)
f '(x) > 0 pour x dans [4/(pi+4) ; 1] -> f(x) croissante.
Il y a donc un MINIMUM de f(x) pour x = 4/(Pi+4)
Ici, on se pose la question de l'erreur d'énoncé.
Est-ce bien l'aire maximale ou la minimale que tu dois trouver ?
L'aire minimale est pour x = 4/(Pi+4)
Mais si tu veux la maximale, on voit avec le tableau de variation de f(x)
que c'est soit pour x = 0 soit pour x = 1 ->
On calcule f(0) = 4 et f(1) = (Pi+4) -8 + 4 = Pi
f(0) > f(1) et c'est donc en f = 0 que le max de l'aire a lieu.
VERIFIE TON ENONCE, IL NE M'ETONNERAIT PAS QUE CE SOIT LE MINIMUM DE
L'AIRE QUI EST DEMANDE.
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Si tu ne connais pas les dérivées :
f(x) = x²(Pi+4) -8x + 4
On sait que l'extremum (max ou min) de la fonction f(x) = ax²+bx+c
a lieu pour x = -b/2a
-> x = -(-8)/(2(Pi+4)) = 4/(Pi+4)
Le signe de "a" indique s'il s'agit d'un max ou d'un
min.
Ici, comme a > 0, il s'agit d'un minimum.
Le min de l'aire totale est pour x = 4/(Pi+4)
Si c'est le max de l'aire totale, elle sera pour x à une des
2 extrémités de l'intervalle dans lequelle peut varier x , soit
dans [0 ; 1].
On calcule f(0) = 4 et f(1) = (Pi+4) -8 + 4 = Pi
f(0) > f(1) et c'est donc en f = 0 que le max de l'aire a lieu.
VERIFIE TON ENONCE, IL NE M'ETONNERAIT PAS QUE CE SOIT LE MINIMUM DE
L'AIRE QUI EST DEMANDE.
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Sauf distraction.
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