Bon depuis le temps que tu affcihe ce message , je fini par y répondre:

tu as
BC2=AC2+AB2-2ACABcosA

tu sais que BC=AC*sinA/sinC
donc BC2=AC2*(sinA)2/(sinC)2

de meme
AB=AC*sinB/sinC
donc
AB2=AC2*(sinB)2/(sinC)2
dans la première egalite tu remplaces BC2 et AC2 par leurs valeurs

AC2*(sinA)2/(sinC)2=AC2+AC2*(sinB)2/(sinC)2-2ACABcosA

AC est différent de 0 (triangle non aplati) donc on peut simplifier
par AC2

(sinA)2/(sinC)2=1+(sinB)2/(sinC)2-2AB/ACcosA

on retrouve AB/AC qui vaut sinB/sinC
(sinA)2/(sinC)2=1+(sinB)2/(sinC)2-2(sinB/sinC)*cosA

on mulmtiplie tout par (sinC)2
(sinA)2=(sinC)2+(sinB)2-2sinB*sinC*cosA

et voilou

A+