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Svp aidez moi c est un énoncé long mais pas beaucoup de question
Bonjour svp aidez moi je ne trouve vraimant pas
Il me faudrait un corrigé détaillé pour pouvoir comprendre et bien réviser:
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O ;i ;j)
1)On désigne par C la courbe représentative de la fonction exponentielle . Pour tout point M d'abscisse t appartenant à C, on considère le point P de coordonnées (t,0) et le point N, point d'intersection de la tangente en M à C avec l'axe des abscisses.
Montrer que la distance PN est constante.
2) Dans la suite de l'exercice, f désigne une fonction définie sur R, strictement positive, dérivable et dont la dérivée est strictement positive. Pour tout point M d'abscisse t appartenant à la courbe représentative de f, on considère le point P de coordonnées (t,0) et le point N, point d'intersection de la tangente en M à la courbe de f avec l'axe des abscisses.
a)Calculer la distance Pn en fonction de f(t) et de f ‘(t).
b)Déterminer un équation différentielle (Ek) vérifiée par les fonctions f définies sur R, strictement positives et dont la dérivée est strictement positive, pour lesquelles la distance Pn est une constante k.
c)Déterminer les fonctions f solutions de (Ek)
Merci beaucoup d'avance
l'eqution de la tangente en un point (x0,yo) est :
y-yo=f'(x0)(x-x0)
si on prend f(x)=e^(x), f' vaut e^(x)
on se place au point (x0,yo)=(t, e^(t))
ca donne:
y-e^(t)=e^(t)(x-t)
soit
y=e^(t)(x-t)+e^(t)
cette tangente coupe l'axe des abscisees en N donc les coordonnées
sont donc (on fait y=0)
0=e^(t)(x-t)+e^(t) d'ou x=t-1
on a donc en resumé:
P(t,0)
N(t-1,0)
donc PN=1 et est constant quand t varie !
2) de manière generale:
la tengente a pour equation:
y-f(t)=f'(t)(x-t)
elle coupe l'axe des abscisses (y=0)
en un point d'abscisse:
0-f(t)=f'(t)(x-t)
d'ou
x=-f(t)/f'(t)+t
le point N est donc(-f'/f+t) et P est toujours (t,0)
si PN =k constante:
PN=t-(-f'/f+t)=f'(t)/f(t)=k
ca donne f'(t)/f(t)=k
d'ou si on va vite:
en intégrant:
ln(f(t))=kt+A (A est une constante)
et
f(t)=Be^(kt) (B est une constante qui vaut e^(A) peut importe...)
Quand t varie toutes les exponentielles de la forme Ae^(kt) sont solutions
Ps: la premiere question du pb c'est un exemple avec k=1 et B=1
A+
Merci bcp guillaume pour votre aide vous etes super rapide quel est
votre secret ?
1)Amour des maths
2) et pour etre honnete, bac+5 dans les sciences!!!
A+
Bonjour dans votrre aide précedente vous dites ;
x=-f(t)/f'(t)+t
le point N est donc(-f'/f+t) et P est toujours (t,0)
si PN =k constante:
PN=t-(-f'/f+t)=f'(t)/f(t)=k
pourriez vous m'expliquez cette etape merci !!
** message déplacé **
c'est vrai que je suis pas tres explicite:
on a trouvé l'equation de la tengente:
y-f(t)=f'(t)(x-t)
on cherche son intersection avec l'axe des abscisses: c'est
un point sur cette droite verifiant y=0, j'ai donc:
o-f(t)=f'(t)(x-t)
j'en deduis x=-f(t)/f'(t)+t
le point N a donc pour coorodonées (-f'(t)/f(t)+t,0)
le point P lui on sait que c'est (t,0)
la distance PN s'écrit precisement rac((0-0)²+(t-(-f'/f+t))²)
ce qui donne -f'(t)/f(t)
or ion veut PN soit une constante k ca donne
PN=k=-f'(t)/f(t)
d'ou f'(t)/f(t)=k
la suite reste identique e tconduit à f(t)=Be^(kt)
A+
Je ne saurais assez vous remercier guillaume pour votre aide !!!
Merci infinimment
Un seul mystère demeurre dans mon esprit :
vous dites que : x=-f(t)/f'(t)+t
mais pourquoi N a til comme coordonnées
(-f'(t)/f(t)+t,0)
et non : (-f(t)/f'(t)+t,0) (le x trouvé précedemment)
Merci encore !!!!
non c'est une coquille!!!
c'est bien x=-f(t)/f'(t)+t
et donc N(-f(t)/f'(t)+t,0)
A+
UI mais dans ce cas tout change nan ???
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