OPTIMISATION

ABCD est un carré; AB=1 . C est le cercle de centre D et de rayon 1. T
est un point de l'arc de cercle AC, distinct de A et de C. La
tangente au cercle C en T coupe le segment [AB] en M et le segment
[BC] en N.
On se propose de résoudre le problème suivant:
Pour quelles positions de T la distance MN est -elle minimale?
Pour cela, on essaie d'exprimer MN en fonction d'une variable
x, par exemple en posant AM=x . Mais le calcul de MN en fonction
de x seul parait impossible a priori. On introduit alors une autre
  variable y ( on pose CN=y), en espérant que les calculs permettront
d'exprimer y en fonction de x.

1) Démontrez que MN^2 = x^2+y^2-2x-2y+2
2) Prouvez que MN=x+y et que MN^2=(x+y)^2

3) Déduisez en que y=1-x/1+x , puis que MN=x^2+1/x+1
4) a- Dressez le tableau de variations de la fonction f:

                   x-----> x^2+1/x+1 , x appartient à [0;1]
   b- Déduisez en que la distance MN est minimale lorsque x = (racine
de carrée de 2) - 1

5) Calculez y lorsque x=(racine carrée de 2)-1
Déduisez en la position de T pour laquelle la distance MN est minimale.