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Svp aidez moi je ne trouve vraimant pas la solution de l ex.
Bonjour svp aidez moi pour cet exerice il me faudrait un corrigé
complet pour pouvoir réussir dans les suites je ne trouve vraimant
pas !!
On considère la suite (Un) définie sur N par U0 =0 , U1 = 1, et U(n+1)=
7Un + 8U(n-1) pour tout n>= 1.
1) Montrer que la suite (Sn) définie sur N par :
Sn = U(n+1) + Un
est une suite géométrique do,t on déterminera la raison.
En déduire Sn en fonction de n.
2) On pose vn = ((-1)^n)Un et on considère la suite (tn) définie par
tn = V(n+1) - Vn.
Exprimer tn en fonction de Sn.
3) Exprimer Vn, puis Un en fonction de n (on pourra calculer, de deux
manières, la somme t0 + ....+t(n-1)).
Déterminer lim (n>+oo) (Un/8^n)
Merci bcp d'avance pour votre aide si précieuse !!
1)
Sn = U(n+1) + Un
Sn = 7Un + 8U(n-1) + Un
Sn = 8Un + 8U(n-1)
S(n+1) = 8.U(n+1) + 8.Un
S(n+1) = 8.(7Un + 8U(n-1)) + 8Un
S(n+1) = 64U + 64.U(n-1)
S(n+1) = 8.(8U + 8.U(n-1))
S(n+1) = 8.S(n)
Et donc Sn est une suite géométrique de raison = 8.
Son premier terme est S(0) = U(1) + U(0) = 1 - 0 = 1.
S(n) = 8^n
-----
2)
t(n) = V(n+1) - Vn = ((-1)^(n+1)) .U(n+1) - ((-1)^n).Un
t(n) = -((-1)^n).[U(n+1) + U(n)]
t(n) = -((-1)^n).[7Un + 8U(n-1) + U(n)]
t(n) = -((-1)^n).8.[Un + U(n-1)]
t(n) = -((-1)^n).Sn
-----
3)
t(n) = V(n+1) - Vn.
t(0) + t(1) + t(2) + ... t(n-1) = -S(0) + S(1) - S(2) ...+((-1)^n).S(n-1)
t(0) + t(1) + t(2) + ... t(n-1) = - 8^0 + 8^1 - 8^2 + ... +((-1)^n).8^(n-1)
t(0) + t(1) + t(2) + ... t(n-1) = V(1) - V(0) + V(2) - V(1) + V(3) - V(2)
+ .... + V(n) - V(n-1)
t(0) + t(1) + t(2) + ... t(n-1) = - V(0) + V(n)
v(0) = ((-1)^0).U(0) = 0
->
t(0) + t(1) + t(2) + ... t(n-1) = V(n)
V(n) = - 8^0 + 8^1 - 8^2 + ... +((-1)^n).8^(n-1)
somme de n termes en progression géométrique de raison = -8 et de premier
terme = -1.
V(n) = -1.((-8)^n - 1)/(-8-1)
V(n) = (1/9).((-8)^n - 1)
V(n) = ((-1)^n).U(n)
U(n) = ((-1)^n).V(n)
U(n) = ((-1)^n).(1/9).((-8)^n - 1)
Si n -> oo, on a ((-8)^n - 1) presque = (-8)^n ->
lim(n->oo) Un = lim(n->oo) ((-1)^n).(1/9).((-8)^n = lim(n->oo) (1/9).(8)^n
lim(n->oo) [Un/(8^n)] = 1/9
-----
Vérifie car la faute de calcul est possible, je n'ai rien relu.
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