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svp exercice sur fonction exponentielle!! pour jeudi
on considere la fonction f définie sur R par :
f(x)=x/e(2x)-1 si x différent de 0
f(0)=1/2
1)
soit h la fonction dérivable sur R par
h(x)=x+1+(x-1)e(2x)
a)Justifier la dérivabilité de h sur R et calculer h'(x)
b)Etudier les variations de la fonction h';puis le signe de h'(x)
c)En déduire le signe de h(x)
2)
a)Déterminer les limites de f en -°° et +°°
b)Montrer que la droite D d'équation y=-x est l'asymptote oblique
de C en -°°.
c)Etudier la position relative de la courbe C et de la droite D.
3)
a)Montrer que f est continue en 0.
b)On admet que f est dérivable en 0 et que f'(0)=-1/2.
Déterminer une équation de T la tangente de la courbe C au point d'abscisse
0.
c)A l'aide du 1),étudier la position relative de la courbe C et
de sa tangente T
4)Etudier les variations de la fonction f
Merci d'avance pour votre aide!!
Il faut faire attention aux risques d'ambiguïtés quand tu écris
des équations.
Je suppose qu'il s'agit de f(x) = x/(e^(2x) - 1)
1)
h(x)=x+1+(x-1)e(2x)
a)
J'ignore la méthode que tu as apprises pour montrer la dérivibalité. -> A
toi.
h '(x) = 1 + e^(2x) + 2(x-1).e^(2x)
h '(x) = 1 + (2x-1).e^(2x)
-----
b)
h ''(x) = 2.e^(2x) + 2.(2x-1).e^(2x)
h ''(x) = 4x.e^(2x)
h ''(x) < 0 pour x dans ]-oo ; 0[ -> h '(x) décroissante.
h ''(x) = 0 pour x = 0
h ''(x) > 0 pour x dans ]0 ; oo[ -> h '(x) croissante.
Il y a donc un minimum de h '(x) pour x = 0, ce min vaut h '(0)
= 1 + 1 - 2 = 0
Et donc h '(x) > 0 pour tout x de R sauf pour x = 0 où h '(x)
= 0.
-----
c)
h'(x) >= 0 pour x dans R -> h(x) croissante.
h(x) = 0 pour x+1+(x-1)e(2x) = 0 soit pour x = 0.
Donc:
h(x) < 0 pour x dans ]-oo ; 0[
h(x) = 0 pour x = 0
h(x) > 0 pour x dans ]0 ; oo[
----------------
2)
f(x) = x/(e^(2x) - 1)
a)
lim(x-> -oo) f(x) = -oo/(0-1) = +oo
lim(x-> +oo) f(x) = oo/oo forme indéterminée, mais l'exponentielle
est prépondérante sur x ->
lim(x-> +oo) f(x) = 0.
-----
b)
k = lim(x-> -oo) [f(x) / x] = lim(x-> -oo) [1/(e^(2x) - 1)] = -1
b = lim(x -> -oo) [f(x) - kx] = lim(x -> -oo) [x/(e^(2x) - 1) + x]
= lim(x -> -oo) [x.e^(2x)/(e^(2x) - 1)] = 0 (car lim(x->-oo) [x.e^(2x)]
= 0 ).
La droite d'équation y = kx + b est asymptote oblique à la courbe
C du coté des x négatifs.
La droite d'équation y = -x est asymptote oblique à la courbe
C du coté des x négatifs.
-----
c)
Etudier le signe de:
f(x) - (-x) = x/(e^(2x) - 1) + x
f(x) - (-x) = x.e^(2x) / (e^(2x) - 1)
e^(2x) > 0 quel que soit x ->
f(x) - (-x) a le signe de x / (e^(2x) - 1)
comme x et [e^(2x) - 1] sont de même signe pour tout x, on a:
f(x) - (-x) > 0 sur R
et donc C est partout au dessus D.
---------------
3)
a)
f(x)=x/(e(2x)-1)
lim(x->0) f(x) = 0/0 forme indéterminée qu'il faut lever.
J'ignore les méthode que tu connais, soit en utilisant le développement limité
de e^(2x) ou la méthode de Lhospital ou autre chose ...
Par la méthode de Lhospital (que tu ne connais probablement pas):
lim(x->0) f(x) = lim(x->0) [1/(2.e^(2x))] = 1/2.
Et donc comme on a donné f(x) = 1/2 pour x = 0, f(x) est continue en
0.
-----
b)
f(0) = 1/2
f '(0) = -1/2
Tangente: (y - (1/2)) = x.(-1/2)
T: y = -(1/2)x + (1/2)
-----
c) Etudier le signe de f(x) - (-(1/2)x + (1/2))
f(x) - (-(1/2)x + (1/2)) = x/(e^(2x) - 1) - (-(1/2)x + (1/2))
développé et simplifié ->
f(x) - (-(1/2)x + (1/2)) = [(x+1) + (x-1).e^(2x)] / (2.(e^(2x) - 1))
f(x) - (-(1/2)x + (1/2)) = h(x) / (2.(e^(2x) - 1))
Et donc comme le dénominateur < 0 pour x < 0
et le dénominateur > 0 pour x > 0
le dénominateur = 0 pour x = 0
-> avec la partie 1c de l'exercice, on a:
f(x) - (-(1/2)x + (1/2)) a le signe contraire de h(x) si x < 0
f(x) - (-(1/2)x + (1/2)) =0 si x = 0
f(x) - (-(1/2)x + (1/2)) a le signe de h(x) si x > 0
-> f(x) - (-(1/2)x + (1/2)) > 0 pour tout x différent de 0.
C est au dessus de T pour tout x différent de 0.
C coïncide avec T si x = 0.
-------
Sauf distraction.
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