Bonjour

Ce sujet a dajà été abordé dans ce topic

Bon courage ...

bein je vous remercies bien

mais par contre la question 3 n'y est pas. Si vous pouviez expliquez ce serait bien, car après j'ai 3 exercices à résoudre dont : z³ - 12z - 65 = 0.

merci bien

<A HREF="https://www.ilemaths.net/sujet-un-polymome-dun-troisieme-degre-qui-pose-probleme-13844.html">Clique ici</A> : La discussion n'y est pas faite mais les résultats y sont.

bon he bien merci.

bein, j'ai lu, j'ai pas trop vu, car c pas comme le mien, alors voilà :

on a : z³ + pz + q = 0
alors, je fais :
(u+v)³+p(u+v)+q
= u³+3u²v+3uv²+pu+pv+q
=u³+v³+3u(-p/3)+3v(-p/3)+pu+pv+q
=u³+v³+q
or v=(-p/3u)
d'ou :
=u³-(p/3u)³+qu
=u⁶-p³/27+qu³
en posant : X = u³

on a :
X²+qx-p³/27 mais la fin ne colle pas

Aidez moi s'il vous plait

A partir de: x²+qx-p³/27 = 0

-> x = [-q +/- V(q² + 4(p³/27))]/2
-> x = [-q +/- V(4q²/4 + 4(p³/27))]/2
-> x = [-q/2 +/- V(q²/4 + (p³/27))]
-> x = [-q/2 +/- V((q/2)² + (p/3)³)]

Les types de racines dépendent donc du signe de (q/2)² + (p/3)³
Comme décrit dans le lien que je t'ai donné dans ma réponse précédente.

Prenons l'exercice:
z³ - 12z - 65 = 0.
On a q = -65 et p = -12

On a: (q/2)² + (p/3)³ = 992,25

x = 32,5 +/- V992,25
x = 32,5 +/- 31,5

-> x = 1 et x = 64

u³ = 1 -> u = 1 et v = -p/3u = 12/3 = 4 -> z = u+v = 1+4 = 5
Remarque qu'en prenant u³ = 64, on trouverait pareil:
u³=64 -> u = 4 et v = -p/3u = 12/12 = 1 -> z = u+v = 4+1=5

Mais il y a d'autres solutions par exemple à u³=1, il y a aussi:
u³=cos(2kPi)+i.sin(2kPi)
u=cos(2kPi/3)+i.sin(2kPi/3)

Avec k = 1 -> u = cos(2Pi/3)+i.sin(2Pi/3) = -0,5 + (1/2).V3 i
u = -0,5 + (1/2).V3 i
v = -p/(3u) = 12/(-0,5 + (1/2).V3 i)
v = 4(-0,5-(1/2).V3.i )/[(-0,5 + (1/2).V3 i)(-0,5-(1/2).V3.i )]
v = 4(-0,5-(1/2).V3.i )/(0,25 + 0,75)
v = 4(-0,5-(1/2).V3.i)
v = -2 - 2V3.i
z = u + v = -0,5 + (1/2).V3 i  -2 - 2V3.i
z = -2,5 - 1,5.V3 .i

Avec k = 2 -> u = cos(4Pi/3)+i.sin(4Pi/3) = -0,5 - (1/2).V3 i
u = -0,5 - (1/2).V3 i
v = -p/(3u) = 12/(-0,5 - (1/2).V3 i)
v = 4(-0,5+(1/2).V3.i )/[(-0,5 - (1/2).V3 i)(-0,5+(1/2).V3.i )]
v = 4(-0,5+(1/2).V3.i )/(0,25 + 0,75)
v = 4(-0,5+(1/2).V3.i)
v = -2 + 2V3.i
z = u + v = -0,5 - (1/2).V3 i  -2 + 2V3.i
z = -2,5 + 1,5.V3 .i

Et donc finalement les 3 solutions de z³ - 12z - 65 = 0 sont:
z = 5
z = -2,5 - 1,5.V3 .i
z = -2,5 + 1,5.V3 .i
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Sauf distraction.  

ok, je comprends. Mais pourquoi au lieu de trouver p²/3, comme demandé dans l'énoncé, je trouve p³/27, c ce qui me gène.

Simplement une erreur d'énoncé ?

Cela devrait probablement être: X² + qX - (p/3)³

cool, j'envoie un mail au professeur pour vérification. Merci

bonjour c'est encore moi,

je reviens encors sur cette discussion. En résolvant les deux autres équations que j'avais à résoudre, c'est à dire :

z³-12z-16=0, pour lequel je trouve (q/2)² + (p/3)³ = 0,
selon le correcteurJ-P, il y aurait donc 1 racine double et 1 racines complexes
la racine double est: (x = 4)
et:
z³-6z+4=0, pour lequel je trouve (q/2)² + (p/3)³ < 0.
et là il y aurait 3 racines complexes.

Mais le probleme, c'est que je n'ai pas vu ces formules en cours (je prends des cours par correspondance pour préparer une licence de math 1ère année), donc, n'y aurait-il pas une autre écriture pour la recherche des solutions. C vrai que je pourrai prendre directe l'écriture de vu dans l'autre topic, mais le prof be l'acceptera pas.

merci beaucoup d'avance.

Ou est le problème ?

Comme vu avant:

x²+qx-p³/27 = 0
-> x = [-q/2 +/- V((q/2)² + (p/3)³)]

z³-12z-16=0
p=-12 et q=-16
(q/2)² + (p/3)³ = 0,
->
x = -q/2 = 8

u³ = 8
u³=8[cos(2kPi)+i.sin(2kPi)]
u=2[cos(2kPi/3)+i.sin(2kPi/3)]

a) k=0
u = 2
v=-p/3u = 12/(3*2)=2
z=u+v=4

b) k=1
u=2[cos(2Pi/3)+i.sin(2Pi/3)]
u = -1+i.V3
v=-p/3u = 12/(3*(-1+i.V3) = 4/(-1+iV3)
v = 4(-1-iV3)/[(-1+iV3)(-1-iV3)] = 4(-1-iV3)/(4
v = -1-iV3
z=u+v = -2

c) k=2
u=2[cos(4Pi/3)+i.sin(4Pi/3)]
u = -1-i.V3
v=-p/3u = 12/(3*(-1-i.V3) = 4/(-1-iV3)
v = 4(-1+iV3)/[(-1+iV3)(-1-iV3)] = 4(-1+iV3)/(4
v = -1+iV3
z=u+v = -2

Les 3 solutions sont donc: S{-2; -2; 4}
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Une autre manière:
Après avoir trouvé la première racine z = 4.
On divise z³-12z-16 par z-4, on trouve z²+4z+4 comme quotient.
-> z³-12z-16 = (z-4)(z²+4z+4)

z²+4z+4 = 0 est une simple équation du second degré -> z=-2 comme racine double

z³-12z-16 = (z-4)(z+2)²
Les solutions de z³-12z-16 = 0 sont donc 4 et 2 fois -2.
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Et enfin le dernier.

Comme vu avant:

x²+qx-p³/27 = 0
-> x = [-q/2 +/- V((q/2)² + (p/3)³)]

z³-6z+4=0
p=-6 et q=4
(q/2)² + (p/3)³ = 4-8= -4

x = -2 +/- i.V4
x = -2 +/- 2i

x = -2+2i
u³=-2+2i
|u³| = V(2²+2²) = V8 = 2V2
U³=2V2(-1/V2 + i/V2)
u³=2V2(cos(3Pi/4 +2kPi)+i.sin(3Pi/4 + 2kPi))
u = racinecubique(2V2).[cos(Pi/4 +2kPi/3)+i.sin(Pi/4 + 2kPi/3)]

a) k = 0
u=racinecubique(2V2).[cos(Pi/4)+i.sin(Pi/4)]
u=racinecubique(2V2).[1/V2+i/V2]
u = 1+i
v = -p/(3u) = 6/(3*(1+i)) = 2/(1+i)
v = 2(1-i)/[(1+i)(1-i)]
v = 1-i
z = u+v = 2

Ici, soit tu continues avec k = 1 et puis k = 2 et tu auras les 2 autres racines ou alors tu divises z³-6z+4 par z - 2

Je fais cette seconde manière:

z³-6z+4 divisé par (z-2) donne un quotient = z²+2z-2

On cherche les racines de l'équation du second degré: z²+2z-2 = 0
-> z = -1 +/- V(1+2) = -1 +/- V3

Les solutions de z³-6z+4=0 sont S = {-1-V3 ; -1+V3 ; 2}, soit 3 solutions réelles.
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OK ?  

merci beaucoup J-P, mais fallait pas résoudre pour moi, lol, je voulais juste savoir si on faisait pareil. mais merci quand meme, c le dernier qui me bloquait, j'avais trouvé le 2ème. Ha oui, j'ai eu le mail de mon prof, il y avait bien une faute de frappe. C'était bien (p/3)³Merci encore à vous.