Pour la b, je ne peux pas voir sans faire de schéma (et je n'ai pas le tps), mais pour la c, tu peux essayer de voir ce que donne la somme FD+FB+FN (en vecteurs).
Si elle est nulle, F est centre de gravité.

a)

Une façon parmi d'autre:

Choix du repère (O ; OD; OC)

On a alors:
O(0 ; 0)
A(-1 ; 0)
B(0 ; -1)
C(1 ; 0)
D(0 ; 1)

vecteur(AB) = (1 ; -1)
vecteur(AE) = 1/3.vecteur(AB)
vecteur(AE) = (1/3 ; -1/3)

E(X ; Y)
vecteur(AE) = (X+1 ; Y)
-> le système:
X+1=1/3
Y = -1/3

X = -2/3 et Y = -1/3

On a donc E(-2/3 ; -1/3)

On montre de manière analogue que F(2/3 ; 1/3)

Le milieu de [EF] a donc pour coordonnées (((-2/3)+(2/3))/2 ; ((-1/3)+(1/3))/2) = (0 ; 0)

Donc O est le milieu de [EF]
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La droite (EF) passe par O
Equation de (EF) : y = kx
Passe par F --> y = (1/2).x

Equation de (BC)
y = x - 1

Les coordonnées de N se trouvent en résolvant le système.
y = x - 1
y = (1/2).x

On trouve N(2 ; 1)

vecteur(FN) = (2 - (2/3) ; 1 - (1/3))
vecteur(FN) = ( 4/3 ; 2/3)

vecteur(EF) = ((2/3)-(-2/3) ; (1/3)-(-1/3))
vecteur(EF) = ( 4/3 ; 2/3)

On a donc vecteur(FN) = vecteur(EF)

Donc les droites (FN) et (EF) ont la même direction et comme elle ont le point F en commun, elles sont confondues.
Donc les points E, F et N son alignés.
vecteur(FN) = vecteur(EF) --> FN = EF

Et donc F est le milieu de [EN]
---
Equation de la droite(AD): y = x + 1

Les coordonnées de M se trouvent en résolvant le système:
y = x + 1
y = (1/2).x

On trouve M(-2 ; -1)

vecteur(ME) = (-2/3 + 2 ; -1/3 + 1)
vecteur(ME) = (4/3 ; 2/3)

On a donc vecteur(ME) = vecteur(EF)

Donc les droites (ME) et (EF) ont la même direction et comme elle ont le point E en commun, elles sont confondues.
Donc les points M, E et F son alignés.
vecteur(ME) = vecteur(EF) --> ME = EF

Et donc E est le milieu de [EF]
---
On a donc:
F est le milieu de [EN]
et
E est le milieu de [EF]

Et donc E et F partagent [MN] en 3 segments de même longueur.
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c)
vecteur(DB) = (0 ; -2)
vecteur(DN) = (2 ; 1-1)
vecteur(DN) = (2 ; 0)

vecteur(DB) . vecteur(DN) = 0*2 -2*0
vecteur(DB) . vecteur(DN) = 0

Et donc (DB) est perpendiculaire à (DN)

--> L'angle(BDN) = 90° et donc le triangle DBN est rectangle en D.
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Sauf distraction.  

je vous remercie de m'avoir répondu.
Bonne soirée et bon weekend.  
          loulou