Une exploitation agricole utilise un certain type d’ engrais
qu’ elle répand sur le sol.
Une étude a démontré qu’ une fois répandu sur le sol une partie
de l’ engrais (1%) est transmise sous forme de nitrate dans
l’ eau de la nappe phréatique ; ces nitrates sont ensuite dissous
dans l’ eau.
On note Q(0) la quantité d’ engrais sur le sol à l’ instant
t=0.
A tout instant, la quantité de nitrates qui passe dans l’ eau
est notée q(t) et f(t) désigne la quantité de nitrate dissoute dans
l’ eau.
L’ étude a également montré que les fonctions q et f vérifient pour
tout t > 0 ou = 0 les équations différentielles suivantes :

(1) q’ (t) = -0,7 q(t)   avec q(0)=0,01Q(0)
(2) f’ (t) = 0,7 q (t) –0,4 f (t)

1) Résoudre l’ équation (1)
2) A) Résoudre l’ équation différentielle (3) y’+0,4 y =
0
b) Déterminer le réel k tel que la fonction h définie par h (t) = 0,7
q(0) k exp(-0,7 t) soit une solution particulière de (2).
c) Démontrer qu’ une fonction g est solution de (2) si et seulement
si g-f est solution de (3).
d) Résoudre l’ équation (2).
e) Sachant que f(0) =0, en déduire l’ expression de f en fonction
de q(0)
3) On suppose dans cette question que q(0)=30
a) Montrer que f’ (t) =(70 exp (-0,4t))*(-0,4+0,7 exp (-0,3t))

b) Soit u la fonction définie sur [0 ; + infini[ par u(t)=-0,4+0,7 exp
(-0,3t).
Etablir le tableau de variations de u et déduire qu’ il existe
un réel t(0) tel que u(t) est positif pour t Î [0 ; t(0)] et négatif
pour t Î [t(0) ; + infini[
c) Etudier les variations de f sur [0 ; + infini[
d) Déterminer la limite de f en + infini et interpréter graphiquement
cette limite.

Dans la suite, on utilisera que t(0) » 1,865
e) Donner une approximation de la quantité maximale de nitrate présente
dans
l’ eau.