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Symétrie
Bonjour à tous,
J'ai un petit problème sur un des exos - corrigés - de mon bouquin de maths. Pouvez-vous m'aider ?
Je remercie d'avance toutes les personnes qui prendront le temps de m'aider.
Enoncé :
ABC est un triangle isocèle en A. I est le milieu de [AC] et J est le milieu de [AB]. Démontrer que BI = IJ
Le corrigé :
Le triangle ABC isocèle en A possède un axe de symétrie en la droite passant par A et le milieu A' du côté opposé [BC]. Cette droite est à la fois hauteur, médiatrice, bissectrice et médiane. Si on appelle S la symétrie d'axe AA', alors S(B) = C.
La symétrie conserve les milieux donc l'image du milieu J de [AB] est le milieu I de l'image de [AB] qui est le segment [AC].
Donc S(B) = C
S(I) = J
Et comme un segment et son image ont même longueur, BI = CJ
Ma question :
Est-ce parce-que S(B) = C et S(I) = J que l'on peut affirmer, sans rien dire d'autre, que BI = CJ ?
(Je ne sais pas si je m'exprime clairement, désolé)
Ma figure :
Merci d'avance,
Mathist.
Bonjour,
J'ai envie de dire oui, mais comme mon avis on s'en tape, je pense qu'il est préférable d'évoquer la conservation des longueurs, au moins. 
Merci beaucoup !
Dans un autre exo, ils disent :
S(A) = C
S(J) = I
S(B) = D
Donc : les triangles AJB et CID sont symétriques.
Y a t-il une simplification ? J'aimerais être sûr de comprendre.
Je reste ouvert à toutes les remarques !
Mathist.
Non il n'y a pas de simplification, je ne comprends pas vraiment ce que tu veux savoir.
En fait dans ton exo, la manière la plus rapide de procéder tout en restant concis, je pense que c'est comme cela :
ABC est un triangle isocèle A et admet donc un axe de symétrie qui est la médiane de ABC issue de A. Notons S la symétrie d'axe cette médiane.
S(B) = C
S(I) = J par conservation des milieux.
Ainsi S(BI) = CJ
Donc BI = CJ par conservation des longueurs.
Tout simplement par la symétrie d'axe AA' ? (et par la conservation des longueurs, des milieux...)
Mathist.
Si tu voulais être vraiment rapide, tu dirais :
ABC admet pour axe de symétrie sa médiane issue de A car il est isocèle en A.
Donc BI = CJ par conservation des longueurs et des milieux.
Sur un brouillon, ça se fait tout à fait, tu peux te permettre de brûler les étapes qui te semblent évidentes, surtout si l'exo est long.
Sur un DM ou un DS, ton prof demande de plus détailler, pour être sûr que ta démarche intellectuelle soit la bonne. Parce que pour arriver à ce résultat, y'a 300 façons de s'y prendre, mais parmi ces 300-là, il n'y en a qu'une que ton prof attend, et tu dois la montrer.
Tu as le droit de faire court, mais pas plus court que ce que ton prof attend.
A chaque niveau correspond un niveau de précision. Si tu trouves que là on détaille trop, alors rappelle-toi les démonstrations du collège : 1 demie-page pour montrer qu'un triangle isocèle admet pour axe de symétrie ses médianes, 1 ligne maintenant.
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