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symétrie affine

Posté par
loicligue 19-03-22 à 22:14

Bonsoir !

Si quelqu'un est encore réveillé et pourrait m'éclairer sur une petite symétrie !

Voici le contexte : Je suis dans \mathds{R}^2, j'ai b1 = (cos θ,sin θ) et b2 = (− sin θ, cos θ) tq (b1,b2) est une base de \mathds{R}^2.

La première symétrie était une symétrie vectorielle : Soit S_{\theta} la symétrie par rapport à la droite vect(b1) dans la direction vect(b2) (sans problème).

Et maintenant on considère : S'_{\theta} la symétrie par rapport à la droite affine (1, 1) + vect(b1) dans la direction vect(b2).

Il faut montrer qu'il s'agit d'une application affine, et exprimerS'_{\theta}(x,y)  en fonction de (x,y).


Pour montrer que c'est une fonction affine, je pensais faire comme habituellement \vec{f} : u \mapsto \vec{f(P)f(P + u)} et vérifier si c'est linéaire mais même avec mon dessin à côté je ne vois pas vraiment les points qui peuvent m'aider...

Posté par
lafol Moderateurre : symétrie affine 19-03-22 à 23:58

Bonjour
je pense que le point (1,1) peut t'aider (mais c'est peut-être lui que tu as baptisé P ?)

Posté par
loicliguere : symétrie affine 20-03-22 à 14:42

Bonjour !

Oui le point (1,1) me semblait intéressant puisque son image par la symétrie sera encore (1,1) mais ne suis-je pas bloqué avec f((1,1) + u) ? (considérez mon f comme la symétrie en question).

Posté par
loicliguere : symétrie affine 20-03-22 à 14:43

Je veux dire, comment puis-je tirer une expression de f((1,1) + u) ?

Posté par
lafol Moderateurre : symétrie affine 20-03-22 à 18:47

Comment as tu défini la symétrie ? Comment exprimes tu l'image d'un point ?

Posté par
loicliguere : symétrie affine 21-03-22 à 12:39

lafol @ 20-03-2022 à 18:47

Comment as tu défini la symétrie ? Comment exprimes tu l'image d'un point ?


S'_{\theta}(A) = A+2\vec{AP(A)} avec P(A) la projection sur la droite affine L ((1,1)+<b1>)  par rapport à b2…

ensuite j'ai cherché une expression de P(A) en trouvant l'intersection de la droite L' (la droite passant par A=(x0,y0) de direction b2) avec la droite L…

j'ai un système et tout et j'ai trouvé une expression de P(A) mais je suis bloqué après.



Si je veux montrer que S' est une application affine je montre que S'_{\theta}((1,1)+u)-S'_{\theta}(1,1) est une fonction linéaire. Mais du coup je prends mon A = (1,1)+u ??? et je fais les calculs ?

Et de plus j'ai du mal à voir sur quoi ma symétrie affine est définie, mon vecteur u appartient à quoi ? A \vec{R^{2}} ???


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