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symétrie axiale

Posté par
hasshass 07-10-19 à 22:13

bonjours voici  de nouveau un exercices qui me casse la tête
merci de votre aide
a,b\; \in\mathbb{C}\; \left|a \right|=1\; f \; est \; la\: transformation \; du\; plan \; définie \; par\: :
M(z)\rightarrow M(a\bar{z}\; +\; b)
on suppose que a \bar{b}\; +b\; =\; 0
chercher l'ensemble des points invariant
j'ai essayé avec f(z) =z en supposant z=x+iy  mais sans résultat

Posté par
lafol Moderateurre : symétrie axiale 07-10-19 à 22:47

Bonjour
oublie les réels, quand tu bosses dans C !

tu cherches à résoudre z = a\bar{z} + b
on te fournit sur un plateau 0 = a \bar{b} + b \\
ça ne te donne pas envie de soustraire membre à membre ?

Posté par
hasshassre : symétrie axiale 07-10-19 à 23:28

merci beaucoup lafol
effectivement si on soustrait membre à membre ça donne

     a\bar{z}\; =\; -a\bar{b} \Rightarrow \; \bar{z}=-\bar{b}\\\Rightarrow z=-b

donc un seul point est ce que c"est possible

Posté par
hasshassre : symétrie axiale 07-10-19 à 23:31

je m'excuse je me suis trompé

Posté par
larrechre : symétrie axiale 07-10-19 à 23:31

Bonsoir,

Non, c'est faux.

Posté par
hasshassre : symétrie axiale 07-10-19 à 23:35

en fait  si on soustrait membre à membre on trouve

z}\; =\; a(\bar{z}-\bar{b})

Posté par
lafol Moderateurre : symétrie axiale 07-10-19 à 23:36

tu as oublié le z, dans ta soustraction

Posté par
hasshassre : symétrie axiale 07-10-19 à 23:46

un coup de pouce svp

Posté par
lafol Moderateurre : symétrie axiale 07-10-19 à 23:48

regarde les modules, et pense à |a|=1, et aussi à reconnaître une médiatrice

Posté par
hasshassre : symétrie axiale 08-10-19 à 00:35

z}\; =\; a\bar{z}-\bar{b}\Rightarrow (z-b/2)=a\bar{z}+b/2\Rightarrow (z-b/2)=a(\bar{z}-\bar{b/2})\\\Rightarrow (z-b/2)=a\bar{(z-b/2)}

comment peu t on conclure

Posté par
lafol Moderateurre : symétrie axiale 08-10-19 à 08:03

hasshass @ 07-10-2019 à 23:35

en fait si on soustrait membre à membre on trouve

z}\; =\; a(\bar{z}-\bar{b})
les modules égaux te disent que M est sur la médiatrice de [OB] si B est le point d'affixe b
Tu sais déjà que si M est invariant il est sur cette médiatrice. Je te laisse étudier la réciproque

Posté par
carpediemre : symétrie axiale 08-10-19 à 10:10

salut

en z* le conjugué de z

z = az* + b
0 = ab* + b

donc z = a(z* - b*)

donc z* = a*(z - b)

zz* = (z* - b*)(z - b) <=> OM = BM   (car |a| = 1 <=> aa* = 1

Posté par
lafol Moderateurre : symétrie axiale 08-10-19 à 10:14

Module de z égale module de (a facteur du conjugué de (z-b)) conduit exactement au même résultat, si on sait qu'un complexe et son conjugué ont même module

Posté par
lafol Moderateurre : symétrie axiale 08-10-19 à 10:15

Pardon j'ai lu trop vite. Tu as directement l'équivalence en procédant ainsi

Posté par
lafol Moderateurre : symétrie axiale 08-10-19 à 10:16

En fait je n'en suis pas si sûre pour l'équivalence....

Posté par
luzakre : symétrie axiale 08-10-19 à 15:55

Bonjour !
Pour commencer f(f(z))=a(\bar{a\bar z+b})+b=|a|^2z+a\bar b+b=z.
Comme f est un antidéplacement c'est une symétrie axiale.

Je propose de démontrer que l'axe de la symétrie est la droite passant par le point d'affixe b/2 dirigée par une racine carrée de a.

Soit a=\omega^2. A noter que |\omega|=1,\;\bar{\omega}=\dfrac1{\omega},\;\omega\bar b+\dfrac b{\omega}=0,\;\omega\bar b+b\bar{\omega}=0
En particulier \bar{\omega} b\in\mathrm{i}\R
Alors f(z)-z=a\bar z-z+b donc \dfrac{f(z)-z}{\omega}=\omega\bar z-z\bar{\omega} est imaginaire pur ou encore f(z)-z orthogonal à \omega.

Enfin, f(z)+z=\omega^2\bar z+z+b=\omega(\omega\bar z+z\bar{\omega})+b=b+\lambda\omega,\;\lambda\in\R montre que le milieu du segment M_z,M_{f(z)} décrit la droite indiquée.

.................................
Si on veut absolument passer par les points invariants il suffit de montrer que si z=\dfrac b2+\lambda\omega,\;\lambda\in\R alors f(z)=z.

Posté par
lakere : symétrie axiale 10-10-19 à 13:20

Bonjour,

  Géométriquement, si on appelle B le point dont l'affixe est b, il s'agit de la médiatrice de [OB].

Posté par
lakere : symétrie axiale 10-10-19 à 13:51

Pour compléter:

On se donne B d'affixe b.

La condition a\bar{b}+b=0 détermine a de module 1.

  symétrie axiale


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