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symétrie centrale

Posté par danskala (invité) 15-06-05 à 09:26

Bonjour à tous,

J'ai une question qui peut paraître simple :

Au collège, on définit la symétrie centrale de centre O comme ceci:
le symétrique d'un point M par rapport au point O est le point M' tel que O soit le milieu de [MM']

comment démontrer alors que l'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle.


Je cherche une démonstration "basique" et j'avoue que je ne vois pas d'argument simple.


Posté par Frip44 (invité)re : symétrie centrale 15-06-05 à 09:28

Bonjour danskala...

Peut-être peux-tu utiliser les homothéties non ??

++
(^_^(Fripounet)^_^)

Posté par danskala (invité)re : symétrie centrale 15-06-05 à 09:28

j'ai oublié :

d'avance merci

Posté par danskala (invité)re : symétrie centrale 15-06-05 à 09:31

Oui mais comment montres-tu le résultat analogue pour les homothèties ?

Posté par
clemclem Posteur d'énigmes
re : symétrie centrale 15-06-05 à 09:32

Bonjour,

Soit O le centre de ta symétrie.
Soit la D une droite.
M et N appartiennent à D.
Soit M' et N' les images respectives de M et N par la symétrie centrale.

On a donc :
O milieu de [MM'] et de [NN']
Donc [MM'] et [NN'] ont même milieu.
Donc MN'M'N est un parallélogramme
Donc (MN) et (M'N') sont parallèles

A plus

Posté par danskala (invité)re : symétrie centrale 15-06-05 à 09:34

Comment montres-tu que si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu alors c'est un parallélogramme ?

Posté par
clemclem Posteur d'énigmes
re : symétrie centrale 15-06-05 à 09:35

danskala,

Tu veux remonter jusqu'aux axiomes dans toutes tes démonstrations?

A plus
Je cherche quand même

Posté par danskala (invité)re : symétrie centrale 15-06-05 à 09:37

Non j'essaie juste d'être au clair avec ce que je crois savoir.

Posté par
clemclem Posteur d'énigmes
re : symétrie centrale 15-06-05 à 09:40

Bonjour danskala,

Il me semble que par définition un parallélogramme a ses diagonales qui se coupent en un même milieu.

A plus
Sûr à 90%

Posté par Frip44 (invité)re : symétrie centrale 15-06-05 à 09:43

>> http://www.webmaths.com/seformer/5/parallelogramme.htm

Si un quadrilatère a ses diaguonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallèlogramme !!

++
(^_^(Frip'

Posté par Frip44 (invité)re : symétrie centrale 15-06-05 à 09:43

ahhh

Posté par Frip44 (invité)re : symétrie centrale 15-06-05 à 09:43

Clemclem, axiomes=bases ??

Posté par
clemclem Posteur d'énigmes
re : symétrie centrale 15-06-05 à 09:44

Bonjour Frip44,

Pour une définition clair d'axiome tu peux aller voir ici :

A plus

Posté par Frip44 (invité)re : symétrie centrale 15-06-05 à 09:47

Il me semble bien qu'une symétrie centrale est une homothétie de rapport 2, on retrouve donc l'idée du parallèlogramme il me semble...

Posté par Frip44 (invité)re : symétrie centrale 15-06-05 à 09:47

Okidoki Merci Clemclem, j'avais pas pensé à aller sur Wikipédia (j'adore cette encyclopédie !!! :))

++
(^_^(Frip'

Posté par
clemclem Posteur d'énigmes
re : symétrie centrale 15-06-05 à 09:48

Frip44,

Je dirais plutôt qu'une symétrie centrale est une homothétie de rapport -1.

A plus

Posté par danskala (invité)re : symétrie centrale 15-06-05 à 09:50

Pour moi un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles (c'est la définition : parallélo-gramme).

Ensuite on montre que si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonale ont le même milieu (c'est une propriété)
Pour le démontrer, je me sers notamment du fait que l'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle (plus d'autres choses).

Pour la réciproque de cette propriété on se sert aussi du fait que l'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle.

Donc tout tourne autour de cette propriété:
"l'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle." que je n'arrive pas à démontrer simplement.

Posté par Frip44 (invité)re : symétrie centrale 15-06-05 à 09:50

une homothétie de rapport -1 ne donne rien sauf le point initial non ??? (désolé je n'ai vu que rapidement les homothéties cette année )

Posté par Frip44 (invité)re : symétrie centrale 15-06-05 à 09:51

Mais danskala, la démo de Clemclem est parfaite !! cela donne un parallèlogramme, c'est sûr c'est prouvé, c'est véridique !!

Posté par
clemclem Posteur d'énigmes
re : symétrie centrale 15-06-05 à 09:53

Bonjour,

Alors si on a une homothétie de rapport -1 de centre O, elle associe à tout point M du plan un point M' tel que :

\vec{OM'}=-\vec{OM}

Cela nous donne bien une symétrie centrale non?

A plus
Une homothétie de rapport 1 aurait été l'identité dans le plan

Posté par danskala (invité)re : symétrie centrale 15-06-05 à 09:54

Quelle démonstration ?

Posté par Frip44 (invité)re : symétrie centrale 15-06-05 à 09:57

>> Oups désolé Clemclem j'ai tout inversé :D faut que j'approfondisse ce point !!!

>> danskala =>
"Soit O le centre de ta symétrie.
Soit la D une droite.
M et N appartiennent à D.
Soit M' et N' les images respectives de M et N par la symétrie centrale.

On a donc :
O milieu de [MM'] et de [NN']
Donc [MM'] et [NN'] ont même milieu.
Donc MN'M'N est un parallélogramme
Donc (MN) et (M'N') sont parallèles" par Clemclem !!

++
(^_^(Frip'

Posté par
clemclem Posteur d'énigmes
re : symétrie centrale 15-06-05 à 10:02

Bonjour,

On peut démontrer qu'un parallélogramme à ses diagonales qui ont le même milieu en appliquant deux fois le théorème de Thalès et en se référant à la définition d'un parallélogramme.

Après si tu veux savoir comment se démontre le théorème de Thalès : Euclide l'a très bien fait en se basant sur ces axiomes.

A plus

Posté par danskala (invité)re : symétrie centrale 15-06-05 à 12:10

En fait, la propriété "l'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle." est un cas particulier de la réciproque du théorème de Thalès (dans la configuration "papillon").

Comment démontre-t-on cette réciproque (dans la configuration papillon)?

Quelqu'un a une idée? (dans l'autre configuration, je sais faire)

symétrie centrale



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